Esercizio Topologia Canonica di una Varietà Diff.

[alessandro#∞math0]

Salve a tutti! (questo è il mio primo posto nel forum) sto cercando di risolvere un'esercizio di geometria differenziale, in particolare questo:

"Sia $f:\mathbb{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R})^2$ definita da $f([x_1,x_2])=[x_1^2,x_1x_2,x_2^2]$, dimostrare che f è un omeomorfismo fra $\mathbb{P}(\mathbb{R})\ e \f(\mathbb{P}(\mathbb{R})$

Il mio problema sta nella definizione di topologia canonica; ho considerato l'atlante $A=\{(U_i,\varphi_i\)}$ ( qui lo definisco per $\mathbb{P}^n$), con aperti

$$U_i=\{ [x_1,\dots,x_{n+1}] \in \mathbb{P}^n \ tali \ che \ x_i \neq 0 \} $$

Con funzioni

$$\varphi_i: \mathbb{P}^{n} \to \mathbb{R}^n $$

$$ \varphi_i([x_1,\dots,x_{n+1}])=(y_1,\dots,y_2)$$

con
$$
y_j=
\left \{
\begin{aligned}
&\frac{x_{j}}{x_i} \ se \ 1\leq j < i
\\
&\frac{x_{j+1}}{x_i} \ se \ i \leq j \leq n
\end{aligned}
\right .
$$

E quindi ho dimostrato che la controimmagine degli aperti $V_i$ di $\mathbb{P}^2$ sono aperti, la contrimmagine della loro intersezione e della loro unione sono aperti; poi che $f$ è anche una funzione aperta sugli aperti $U_i$ di $\mathbb{P}$, e sulla loro intersezione ed unione .Cosi penso di aver dimostrato che $f$ è un omeomorfismo. Mi chiedo se sia corretto o meno, perchè la topologia canonica dovrebbe essere quella generata da un'atlante massimale, però non capisco se le due siano equivalenti e sia quindi solo una questione di definizione.

Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte, buona serata!

[j18eos]

CIa0, benvenut*;

credo che tu confonda la nomenclatura tra topologia naturale ed atlante canonico...

Al di là di ciò: hai dimostrato(!?) che \(\displaystyle f:\mathbb{P}(\mathbb{R})\to\mathbb{P}^2(\mathbb{R})\) è una funzione aperta; ti mancano la continuità e la biettività!

[alessandro#∞math0]

Scusami, la mia spiegazione era un po' confusa (come forse le mie idee in questo momento!). Io adesso sto studiando in belgio. Il mio professore ha definito la topologia canonica di una varietà come l'insieme dei domini di un atlante massimale (mentre guardando in giro su libri ed in rete spesso vedo che si definisce una varietà partendo già da uno spazio topologico, andando poi a definire le carte). Comunque, il mio problema era che, dato un atlante come quello dell'esercizio, non sapevo come dimostrare che la funzione era un omeomorfismo, essendo l'atlante non massimale (ha solo due domini)! Chiedendo all'esercitare mi ha detto che basta provare che l'espressione locale della funzione $f$ è un omeomorfismo (con la topologia standard di $\mathbb{R}^n$), ovvero che devo costruire l'inversa e mostrare che è continua. E' corretto quanto dettomi dall'esercitatore? (sai, dal francese potrei aver mal interpretato ! )


Grazie mille delle risposte!

[j18eos]

Mi sa che hai le idee confuse sul concetto di varietà differenziabile (manifold o variété différentielle): come puoi costruire una varietà se non parti da uno spazio topologico? Per capirci: come fai a dire che \(\displaystyle(U,\varphi)\) è una carta locale per \(\displaystyle M\), con \(\displaystyle U\) sottoinsieme aperto di \(\displaystyle M\), se non hai \(\displaystyle M\) e una topologia su di esso?

Al più, puoi avere dati \(\displaystyle M\) (un insieme non vuoto) e delle coppie \(\displaystyle(U_i,\varphi_i)\) tali che gli: \(\displaystyle U_i\) formino un ricoprimento (covering o recouvrement) di \(\displaystyle M\), le \(\displaystyle\varphi_i\) siano funzioni biettive \(\displaystyle\varphi_i:U_i\to\mathbb{R}^n\) con una condizione di compatibilità (che conosci).

T'ho un po' chiarito (giusto un po' eh!) le idee?

[alessandro#∞math0]

Adesso ho le idee un po' più chiare! Comunque puoi definire una varietà partendo da un insieme $M$, poi definisci una carta come una coppia $(U,\varphi)$ dove $U$ è un sottoinsieme di $M$ e $\varphi$ è una biezione fra $U$ e un'aperto di $\mathbb{R}^n$, a questo punto definisci l'altlante come insieme di carte che ricoprono $M$, si dimostra che ne esiste uno massimale e a quel punto,l'insieme dei domini delle carte di quell'atlante sono una topologia per la varietà e le funzioni coordinate sono per definizione omeomorfismi. Però onestamente anche io trovo più semplice la definizione che conosci tu (forse la definizione datami è in un certo senso applicabile più in generale, ma non molto intuitivae utile ai fini pratici! )


Comunque grazie mille!