Esercizio topologia
Nel piano eucliedo si consideri la famiglia di parti di A costituita dal vuoto e dai sottoinsiemi di $R^2$ contenenti il disco aperto D di centro (0,0) e raggio 2.
a)Provare che A è una topologia
b)Studiare A rispetto a connessione e compattezza
c)Provare che $(R^2,A)$ non è metrizzabile
d)Esibire una successione di punti di $R^2$ convergente rispetto ad A ma non rispetto ad $A_(nat)$.
SVOLGIMENTO
a) Non mi soffermo su questo punto poichè è veramente semplice; non bisogna fare altro che verificare la validità dei tre assiomi topologici.
b) La topologia è irriducibile poichè ogni aperto di A contiene il disco D, quindi lo spazio è connesso (non riesco a trovare due aperti disgiunti di cui $R^2$ sia unione)
La compattezza risulta leggermente più complessa poichè ho una famiglia di aperti e non una base, quindi un ricoprimento per lo spazio topologico. Devo allora ragionare su quali insiemi ricoprono $R^2$. Beh, l'unione di tutti gli aperti della topologia ricopre $R^2$ e da questo ricoprimento riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che è costituito dal solo $R^2$, quindi lo spazio è compatto.
c) Lo spazio non è metrizzabile poichè non è sicuramente uno spazio di Hausdorff, quindi non è neanche $T_3$ e dal lemma di Uryshon segue l'asserto.
d) Le successioni non convergenti nella topologia naturale sono le alternanti e le divergenti; quindi tra queste è sufficiente scegliere una successione alternante che si sviluppi all'interno del disco D.
Sono indeciso sul punto b) poichè è la prima volta che trovo un esercizio in cui non mi è stata assegnata una base, ma la topologia stessa.
a)Provare che A è una topologia
b)Studiare A rispetto a connessione e compattezza
c)Provare che $(R^2,A)$ non è metrizzabile
d)Esibire una successione di punti di $R^2$ convergente rispetto ad A ma non rispetto ad $A_(nat)$.
SVOLGIMENTO
a) Non mi soffermo su questo punto poichè è veramente semplice; non bisogna fare altro che verificare la validità dei tre assiomi topologici.
b) La topologia è irriducibile poichè ogni aperto di A contiene il disco D, quindi lo spazio è connesso (non riesco a trovare due aperti disgiunti di cui $R^2$ sia unione)
La compattezza risulta leggermente più complessa poichè ho una famiglia di aperti e non una base, quindi un ricoprimento per lo spazio topologico. Devo allora ragionare su quali insiemi ricoprono $R^2$. Beh, l'unione di tutti gli aperti della topologia ricopre $R^2$ e da questo ricoprimento riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che è costituito dal solo $R^2$, quindi lo spazio è compatto.
c) Lo spazio non è metrizzabile poichè non è sicuramente uno spazio di Hausdorff, quindi non è neanche $T_3$ e dal lemma di Uryshon segue l'asserto.
d) Le successioni non convergenti nella topologia naturale sono le alternanti e le divergenti; quindi tra queste è sufficiente scegliere una successione alternante che si sviluppi all'interno del disco D.
Sono indeciso sul punto b) poichè è la prima volta che trovo un esercizio in cui non mi è stata assegnata una base, ma la topologia stessa.
Risposte
"biggest":
Beh, l'unione di tutti gli aperti della topologia ricopre $R^2$ e da questo ricoprimento riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito che è costituito dal solo $R^2$, quindi lo spazio è compatto.
mh? Pensaci meglio.Il resto è giusto.
Ecco, ero sicuro di aver sbagliato la compattezza. Ci penso.
pensa a questa famiglia di aperti: i dischi di centro l'origine e raggio maggiore di 2.
questa famiglia ricopre $R^2$ e da essa non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito per $R^2$, quindi visto che abbiamo trovato almeno un ricoprimento da cui non possiamo estrarre un sottoricoprimento finito, lo spazio non è compatto.
ok
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