Esercizio Topologia

[wanderer1]

Salve,
l'esercizio è il seguente:


Allora ho dimostrato la sconnessione dell'insieme delle matrici invertibili usando la continuità della funzione determinante. Mi sono bloccato sul secondo punto. Sto cercando di dimostrare che l'insieme costituito da matrici con determinante strettamente positivo sia connesso (implicando di fatto che sia una componente connessa), ma non so perché mi trovo sempre in un vicolo cieco. Non vedo come possa sfruttare funzioni continue\omeomorfismi, quindi pensavo di dimostrare per assurdo che la sconnessione del suddetto insieme implichi la sconnessione dell'insieme totale delle matrici. Forse che stia cercando di dimostrare una cosa non vera? Potreste darmi una dritta?
Grazie infinite

[killing_buddha]

E' troppo tardi per fare i conti, ma prova a dimostrare che la mappa determinante \(\det : \text{GL}(n, K)\to K^\times\) induce un isomorfismo tra le componenti connesse di $GL$ e quelle di \(K^\times\); in altre parole, due matrici reali si possono congiungere con un cammino se e solo se hanno lo stesso segno, e due matrici complesse si possono congiungere sempre. La stessa cosa vale per le matrici ortogonali (ci sono due componenti connesse per archi, una delle quali contiene la matrice identità e l'altra la sua opposta).

C'è un teorema piuttosto profondo in teoria della rappresentazione dei gruppi poi, che sostanzialmente ti dice che un gruppo di Lie semisemplice si rompe in tre pezzi, un sottogruppo compatto $K$, un sottogruppo abeliano $A$, un sottogruppo nilpotente $N$, e l'inclusione $K\to G$ è un'equivalenza omotopica.