Esercizio Topologia

[alfiere15]

Buon pomeriggio! Sono alle prime armi con gli esercizi di topologia. Potreste dirmi se ho ragionato bene nel seguente esercizio?

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1)
I Assioma)
$emptyset in tau$: banale
$mathbb{R} in tau$: sia $x in mathbb{R} Rightarrow x+1 in mathbb{R}$

II Assioma)
${A_i}_(i in I)$ famiglia di elementi di $tau$
sia $x in bigcup_(i in I) A_i Rightarrow exists$ $i in I: x in Ai in tau Rightarrow x+1 in Ai in bigcup_(i in I) A_i Rightarrow x+1 in bigcup_(i in I) A_i$

III Assioma)
Siano $A_1, A_2 in tau$
-> $A_1 cap A_2 = emptyset in tau$
-> $A_1 cap A_2 ne emptyset in tau Rightarrow x in A_1 in tau, x in A_2 in tau Rightarrow x+1 in A_1, x+1 in A_2 Rightarrow x+1 in A_1 cap A_2 $


2)
Sia $U in tau, x in U Rightarrow U = {x, x+1, x+2,...} = bigcup_(n in mathbb{N}) x+n$
Essendo la topologia naturale $tau_o $ per $mathbb{R}$ quella degli intervalli aperti e limitati, essendo gli aperti di $tau$ insiemi illimitati a desta, sicuramente la topologia $tau$ è più fine della topologia $tau_0$


3)
Int$[-1,0]$ = $emptyset$, in quanto Int$[-1,0]$ dovrebbe essere contenuto in $[-1,0]$, che è limitato, mentre Int$[-1,0]$, essendo un aperto per $tau$, è illimitato.

Int($mathbb{R} setminus {0}$)
Sappiamo che Int($mathbb{R} setminus {0}$) $subset$ $mathbb{R} setminus {0}$
Tuttavia, $x in $Int($mathbb{R} setminus {0}, x = -1 Rightarrow x = 0$
Ma $0$ non è nel nostro insieme.
Dunque, Int($mathbb{R} setminus {0}$) $=$ $mathbb{R} setminus {-1,0}$

Int($mathbb{Z}$) $= mathbb{Z}$
Infatti, $mathbb{Z} = bigcup_(x in mathbb{Z}, n in mathbb{N}) x+n in tau$


5)
Considero $∁_X mathbb{Z} = bigcup_ (n in mathbb{Z}) (n, n+1)$
Sia $x in bigcup_ (n in mathbb{Z}) (n, n+1) Rightarrow exists n in mathbb{Z} : x in (n,n+1) Rightarrow x+1 in (n+1,n+2) subset bigcup_ (n in mathbb{Z}) (n, n+1) in tau$
Dunque, il complementare di $mathbb{Z}$ è un aperto, dunque $mathbb{Z}$ è un chiuso.


6)
$mathbb{R}$ è sconnesso, perché anche $mathbb{Z}$ è un aperto e chiuso.

[Pierlu11]

Per quanto riguarda il punto 2 mi sembra che le due topologie non sono confrontabili visto che ognuna ha un aperto che non sta nell'altra ( $ ZZ $ per quella definita nell'esercizio e un qualunque intervallo aperto e limitato per quella euclidea).
Nel punto 3 direi che non basta togliere $ -1 $ per $ Int(RR\\{0}) $ visto che, essendoci $ -2 $ deve esserci anche $ -1 $ per rimanere aperto... dovrebbe essere $ RR\\ZZ $ .
Per il punto 4 basta considerare due numeri tali che $ x_1-x_"=1 $ e dovresti arrivare ad una conclusione...
Il resto mi sembra corretto!