Esercizio Topologia

[daenerys1]

Forse come esercizio sarà stupido, ma non riesco a venirne a capo

Sia X uno spazio topologico. S $ sube $ X e i: S -> X l'inclusione.
Supponiamo che S sia dotato di una topologia che soddisfa la seguente prop:
Per ogni spazio Y e ogni applicazione f: Y->S
f è continua se e solo se if: Y-> X è continua

dimostrare che la topologia di S è la topologia indotta dalla top. di X

Sarà la stanchezza ma non ci riesco a proprio a far vedere che gli aperti di S che soddisfano la condizione, sono del tipo S $nn $ A dove A è aperto in X

[j18eos]

Inizia a ragionare sul fatto che se \(\displaystyle f:Y\to X\) è continua allora è continua anche la sua corestrizione ad \(\displaystyle S\)...

[daenerys1]

Beh se if è continua allora se prendo un qualsiasi aperto di X, la sua controimmagine è un aperto di Y ed ho:
$ f^(-1)i^(-1)(A) $ qua posso sfruttare la continuità di i ed f, ma che risolvo?

[j18eos]

Come che risolvi? Hai risolto mezzo problema: gli aperti di \(\displaystyle S\) sono aperti di \(\displaystyle X\)!

[daenerys1]

Mmmh no scusa io parto prendendo un aperto di X tramite la funzione if, essendo questa continua, la sua controimmagine è aperto di Y, ed ottengo quello scritto sopra. Però poi so che $i^(-1)A$ è aperto in S perché l'inclusione è una funzione continua e poi tramite l'antimmagine di f questo è un aperto in Y.. sbaglio qualcosa?

[j18eos]

Tu imponi che per ogni spazio topologico \(\displaystyle Y\) tale che \(\displaystyle f:X\to Y\) è continua allora \(\displaystyle f\circ i\) è continua; in particolare per \(\displaystyle X=Y,f=1_X\) hai quanto ti ho scritto!