Esercizio tipo esame su spazi vettoriali e endomorfismi
Sia V un sottospazio di dimensione 3 e il seguente sottoinsieme di V rappresentato in un rifeirmento R dal sistema:
$ { ( x_1=1 ),( x_3=1 ):} $.
a) X è sottospazio di V?
b)Qual'è la dimensione del sottospazio generato W da X?
c)Determinare un endomorfismo di V avente come nucleo W.
d)Determinare Imf
e)Studiare la diagonalizzabilità di f.
Allora, ho risolto così:
a) X banalmente, non è un sottospazio di V poichè X non contiene il vettore nullo.
b) Una base del sottospazio di W è $(1,1,1),(1,0,1)$. Dunque la dimensione è 2.
c) Se W è nucleo deve necessariamente essere
$f(1,1,1)=(0,0,0)$
$f(1,0,1)=(0,0,0)$
Completo in una base e assegno a tale vettore un vettore immagine arbitrario:
$f(0,0,1)=(0,0,1)$
Dunque, dato che f deve essere un endomorfidmo, deve risultare:
Quindi il mio endomorfismo ha come matrice associata nel riferimento naturale la seguente:
$ ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) $
Quindi:
$ ( ( x' ),( y' ),( z' ) ) = ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) ( ( x ),( y ),( z ) )$
$f(x,y,z)=(0,0,z)$
d)Imf è il sottospazio generato dalle immagini dei vettori della base , dunque, tenendo conto della dipendenza dei vettori immagini ho che:
Imf è il sottospazio generato da (0,0,1) quindi: si può rappresentare con un sistema di due equazioni in tre incognite:
$ { ( x=0 ),( y=0 ):} $
e) la matrice associata al mio endomorfismo è:
$ ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) $.
Studiamone gli autovalori:
Il polinomio caratteristico è $(h)^2 (1-h)$Dunque le sue radici sono 0 e 1
1 è autovalore con molteplicità algebrica 1 e dunque la sua molteplicità geometrica sarà 1 poiche $0
V(0):
Si rappresenta con l'equazione matriciale:
( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) )((x),(y),(z))
Dunque:
((0),(0),(z)).
Tale sottospazio è generato dal vettore (0,0,1) ed ha dunque dimensione 1, di conseguenza la molteplicità geometrica di 0 è 1 e quindi l'endomorfismo non è digonalizzabile.
Se vi sono errori vi prego di correggermi, se conoscete strade più brevi, sono ben lieto di venirne a conoscenza.
$ { ( x_1=1 ),( x_3=1 ):} $.
a) X è sottospazio di V?
b)Qual'è la dimensione del sottospazio generato W da X?
c)Determinare un endomorfismo di V avente come nucleo W.
d)Determinare Imf
e)Studiare la diagonalizzabilità di f.
Allora, ho risolto così:
a) X banalmente, non è un sottospazio di V poichè X non contiene il vettore nullo.
b) Una base del sottospazio di W è $(1,1,1),(1,0,1)$. Dunque la dimensione è 2.
c) Se W è nucleo deve necessariamente essere
$f(1,1,1)=(0,0,0)$
$f(1,0,1)=(0,0,0)$
Completo in una base e assegno a tale vettore un vettore immagine arbitrario:
$f(0,0,1)=(0,0,1)$
Dunque, dato che f deve essere un endomorfidmo, deve risultare:
Quindi il mio endomorfismo ha come matrice associata nel riferimento naturale la seguente:
$ ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) $
Quindi:
$ ( ( x' ),( y' ),( z' ) ) = ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) ( ( x ),( y ),( z ) )$
$f(x,y,z)=(0,0,z)$
d)Imf è il sottospazio generato dalle immagini dei vettori della base , dunque, tenendo conto della dipendenza dei vettori immagini ho che:
Imf è il sottospazio generato da (0,0,1) quindi: si può rappresentare con un sistema di due equazioni in tre incognite:
$ { ( x=0 ),( y=0 ):} $
e) la matrice associata al mio endomorfismo è:
$ ( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) ) $.
Studiamone gli autovalori:
Il polinomio caratteristico è $(h)^2 (1-h)$Dunque le sue radici sono 0 e 1
1 è autovalore con molteplicità algebrica 1 e dunque la sua molteplicità geometrica sarà 1 poiche $0
V(0):
Si rappresenta con l'equazione matriciale:
( ( 0,0,0),(0,0,0),(0,0,1) )((x),(y),(z))
Dunque:
((0),(0),(z)).
Tale sottospazio è generato dal vettore (0,0,1) ed ha dunque dimensione 1, di conseguenza la molteplicità geometrica di 0 è 1 e quindi l'endomorfismo non è digonalizzabile.
Se vi sono errori vi prego di correggermi, se conoscete strade più brevi, sono ben lieto di venirne a conoscenza.
Risposte
b) Essendo [tex]$X=\{(1;a;1)\in\mathbb{V}\mid a\in\mathbb{R}\}$[/tex] risulta sì [tex]$W=\big\ni(1;0;1)$[/tex] ma tale vettore non genera tutto $W$; risulta che [tex]$(1;1;1)\in W$[/tex] per cui: [tex]$W=\big<(1;0;1);(1;1;1)\big>$[/tex] e [tex]$\dim W=2$[/tex]. Lascio a te capire il perché di questa conclusione, se non tu riuscissi scrivilo e ti risponderei al più presto!
Il resto non l'ho controllato in quanto il punto b) è errato nello svolgimento.
Il resto non l'ho controllato in quanto il punto b) è errato nello svolgimento.
j18eos ho modificato l'esercito, vedi se è ok.
"biggest":
...
Dunque, dato che f deve essere un endomorfidmo, deve risultare:
...
Questa è una frase appesa al vento oppure no?
Non ho capito il formalismo dello studio dell'autospazio dell'autovalore $0$!
EDIT: Il resto è OK!
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