Esercizio teorico su generatori e indipendenza lineare

[VictoriaBathory]

Salve a tutti, volevo sottoporre alla vostra attenzione due quesiti teorici su cui mi sto scervellando da un po' Magari qualcuno è in grado di darmi una mano

1) Sia V spazio vettoriale su K e W suo sottospazio. Dimostrare che se u, v e w generano W, allora anche w+v, u-v+w e u+w generano W.

2) Sia V sottospazio vettoriale e sia {v1..vn} un insieme in cui due vettori sono coincidenti. Dimostrare che questo insieme è linearmente indipendente.

Per quanto riguarda il primo quesito, ho percorso mille strade diverse ma nessuna sembra portare a un risultato concreto. Ho preso il generico vettore r di W e l'ho espresso come combinazione lineare dei vettori dati: r= a1 (v+u) + a2 (u-v+w) + a3(u+w) (Perdonate la mia incapacità di scrivere con latex e cose varie). In seguito ho svolto le moltiplicazioni con gli scalari e in sostanza ho fatto un sistema per verificare che questa combinazione lineare sia uguale al generico vettore di coordinate (x,y,z). Il sistema è risolubile dunque, come avevo visto in un precedente esercizio proposto su questo forum, ciò significherebbe che i vettori presi sono generatori, ma non ho utilizzato l'ipotesi che u, v e w siano generatori a loro volta dunque il ragionamento non mi sembra corretto.

Per quanto riguarda il secondo esercizio, ho preso una combinazione lineare di v1..vn e l'ho eguagliata a 0 per cercare di dimostrare che gli scalari a1..an sono obbligati ad essere tutti nulli. Ovviamente, avendo due vettori uguali, mi trovo con a1v1 + 2aivi + anvn =0 e allora ho supposto che 2ai=0 se e solo se ai=0, ma non penso affatto che sia giusto

Ringrazio anticipatamente per le risposte.

[killing_buddha]

Per 1: se $v=(v_1, _2,v_3)$ e allo stesso modo si scrivono gli altri, si ha che il prodotto
\[
\begin{pmatrix}
u_1 & v_1 & w_1 \\
u_2 & v_2 & w_2 \\
u_3 & v_3 & w_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
da' esattamente (elencati per colonne) i vettori $v+w$, $u-v+w$, $u+w$. Ora, la matrice scritta la' sopra ha rango 3: questo vuol dire che la trasformazione lineare associata manda generatori in generatori. Questo conclude.

Per 2: quello che hai scritto e' falso, ovviamente: se due vettori coincidono, senza perdita di generalita' possiamo pensare che a coincidere siano i primi due. Allora la combinazione lineare $v_1-v_2$ e' uguale a zero senza che i combinatori siano uguali a zero.

[VictoriaBathory]

Grazie
Per quanto riguarda il primo quesito, preso dal testo di un esame parziale, non si poteva utilizzare il concetto di rango o di determinante in quanto sarebbe stato studiato in seguito. Ho capito la tua spiegazione, ma in che altro modo potrei svolgere l'esercizio senza ricorrere al rango?

[Mino_01]

Posto
$A=span(u,v,w)$;
$B=span(v+w,u+w,u-v+w)$;

E' certamente $BsubA$ perché ogni vettore $v+w,u+w,u-v+w$ è combinazione di $u,v,w$.
Ma è anche il contrario ovvero ogni vettore $u,v,w$ è combinazione di $v+w,u+w,u-v+w$ come ti è stato mostrato.

Direttamente (ma siamo sempre lì),
senza le matrici è necessario sapere ( Gennaro Colaps - esercizi e problemi di algebra esercizio 9) che:
per $a$ non nullo, $b$ qualsiasi è

1) $span(u,v,w)=span(a*u,v,w)$
2) $span(u,v,w)=span(b*v+u,v,w)$

con tali regole si ha in successione:

$span{u,v,w}=$
$=span{u,v,u+w}=$
$=span{u,-v,u+w}=$
$=span{u,-v+(u+w),u+w}=$
$=span{(-u)+(u+w),-v+u+w,u+w}=$
$=span{w,-v+u+w,u+w}=$
$=span{w+(u+w)-(-v+u+w),-v+u+w,u+w}=$
$=span{w+v,-v+u+w,u+w}$

Colgo l' occasione per salutare il Prof Colaps.

saluti
Mino