Esercizio tema d'esame di algebra lineare

[kalindor]

Ciao ragazzi,
sono nuovo del forum, ma l'ho usato spesso per cercare esercizi da risolvere per i compiti di algebra lineare. Ora mi trovo davanti ad un esercizio che non ho soluzione e che sinceramente non riesco a risolvere in un punto:

Si consideri in M3(R) la matrice A = $ ( ( a , a , -b ),( a , -b , a ),( a , a , a ) ) $ a,b in R

PUNTO UNO
Si discuta al variare dei parametri a e b il sistema di equazioni lineari, a coefficienti in R nelle incognite x,y,z $ sum :A( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( -1 ),( -1 ),( -1 ) ) $ .
Io l'ho svolto così:
Ho calcolato il sistema relativo alle incognite e alla matrice A, anche se col senno di poi non mi serviva: $ { ( ax + ay - bz = -1 ),( ax -by +az = -1 ),( ax + ay + az = -1 ):} $ . Perchè il sistema sia risolvibile, il rango della matrice completa, deve essere uguale al rango della matrice incompleta, ho scritto quindi le matrici:
A' = $ ( ( a , a , -b, -1),( a , -b , a, -1 ),( a , a , a, -1 ) )$ e A = $ ( ( a , a , -b ),( a , -b , a ),( a , a , a ) ) $. Dunque ho tirato fuori i tre casi

se rk(A) = rk(A') = 3 --> Sistema risolvibile con unica soluzione
se rk(A) = rk(A') < 3 --> Sistema risolvibile con più soluzioni
se $ rk(A) != rk(A') $ --> Il sistema non ha soluzioni

ora quindi ho eseguito alcune operazioni sulle righe della matrice completa, quindi:

$ ( ( a , a , -b, -1),( a , -b , a, -1 ),( a , a , a, -1 ) ) $ = $ ( ( 0 , 0 , -(b+a), 0),( 0 , -(b+a) , 0, 0 ),( a , a , a, -1 ) ) $
dunque dalle valutazioni precedenti si deduce che:

rk(A) = rk(A') = 3 $ hArr $ b+a $ != $ 0 e a $ != $ 0
rk(A) = rk(A') < 3 $ hArr $ b+a $ = $ 0 e a $ != $ 0
$ rk(A) != rk(A') $ $ hArr $ b+a $ != $ 0 e a $ = $ 0

FINE PUNTO UNO

PUNTO DUE
Indicato con La l'endomorfismo di $ ( RR )^(3) $ associato ad A, si dica per quali valori di a e b l'endomorfismo La è iniettivo, per quali valori la dim ker(La) = 1 e per quali valori la dim ker(La) = 2

Praticamente questo esercizio vuole far capire se si ha appreso il teorema delle dimensioni: dim (La) = dim Im(La) + dim ker(La)
dunque: per quali valori di a e b La e iniettiva.
NON VORREI SBAGLIARE, ma una funzione è iniettiva se e solo se è suriettiva, quindi perchè sia suriettiva bisogna che la dim Im(La) sia uguale al Codominio di La. Dunque, essendo un endomorfismo l'immagine è associata alla matrice A, dunque la dim Im(La) = rk(A). Per cui, perchè sia iniettiva il rk(A) = 3. Presi i calcoli precedenti, il rk(A) = 3 $ hArr $ b+a $ != $ 0 e a $ != $ 0

quando dim ker(La) = 1
per lo stesso ragionamento fatto nel punto precedente, e tenendo conto del teorema delle dimensioni, dim (La) = dim Im(La) + dim ker(La) $ rArr $ 3 = dim Im(La) + 1
quindi si deve trovare dove la dimensione dell'immagine dell'endomorfismo vale due, e dunque dove la matrice $ ( ( 0 , 0 , -(b+a) ),( 0 , -(b+a) , 0 ),( a , a , a ) ) $ ha rk = 2. Da cui si ricava che rk = 2 $ hArr $ b+a $ != $ 0 e a $ = $ 0.

quando dim ker(La) = 2
qui vale lo stesso ragionamento precedente, che riassunto fa dim ker(La) = 2 $ rArr $ dim Im(La)=1 $ rArr $ rk = 1 $ hArr $ b+a $ = $ 0 e a $ != $ 0.

FINE PUNTO DUE

PUNTO TRE
Indicato con g l'endomorfismo di $ ( RR )^(3) $ definito da:
g(1,1,1) = (-2,-2,0), g(1,1,0) = (0,-2,0) , g(1,0,0) = (0,0,0) si calcolino nucleo ker(g) e l'immagine Im(g) di g

Il punto tre per come penso di averlo risolto io, comincia ad essere un pochino complesso:
dunque perchè siano un endomorfismo è necessario che: (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) siano una base di $ ( RR )^(3) $. Tre vettori in $ ( RR )^(3) $ sono una base se sono linearmente indipendenti. Quindi, presa la matrice $ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ metto a scala per riga, o calcolo se il determinante è diverso da 0. det è sicuramente diverso da zero, quindi sono indipendenti e base di $ ( RR )^(3) $.

Ora prendo la matrice con i vettori dell'immagine (-2,-2,0), (0,-2,0), (0,0,0) disposti nelle colonne della matrice, e metto la matrice a scala per colonne, in modo da calcolare una base dell'immagine, quindi: $ ( ( -2 , 0 , 0 ),( -2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ = $ ( ( 0 , 2 , 0 ),( -2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $.
rk = 2 da qui si deduce che dim Im(g) = 2 e quindi dim ker(g) = 1. Due vettori della base dell'immagine sono (0,-2,0) e (2,-2,0)
Ora siccome il nucleo contiene solamente un vettore si può calcolare cosi: $ ( ( 0 , 2 , 0 ),( -2 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ però mi viene una cosa del tipo: $ { ( 2y = 0 ),( -2x-2y=0 ):} $ da cui la soluzione nella forma (0,0,z) con z a piacere del tipo (0,0,1)????

FINE PUNTO TRE

PUNTO QUATTRO
Si dica se per qualche valore di a e b l'endomorfismo g coincide con La, precisando eventualmente i valori dei parametri
Il punto quattro è la parte che non riesco a fare:

[Camillo]

Punto tre
Senz'altro $ ker (g) = alpha(0,0,1) $ ed è infatti $ Dim ker (g) =1 $ .