Esercizio sullo spazio vettoriale duale

[Benihime1]

in questo esercizio ho V=$RR$[x]
e $B={1,x,x^2,x^3,...}$
sia poi $\partial_n$ la funzione così definita
$\partial_n: P(x) -> (1/n!)P^{(n)}(0)$

mi chiede di mostrare che per ogni n $\partial_n$ appartiene a V*,
di mostrare che $\partial_n$$x^m$=$\delta_(nm)$ (il delta di kronecher)
e infine mostrare che tutte le $\partial_n$ sono linearmente indipendenti

ai primi 2 quesiti ho trovato risposta
del terzo ho la soluzione del professore ma volevo chiedere se la mia soluzione alternativa può considerarsi valida

poichè ho già mostrato che $\partial_n$$x^m$=$\delta_(nm)$
allora io posso associare gli elementi di B ai vettori della base canonica, cioè $x^k$=$e_k$ (vettore formato da tutti zeri tranne nel posto k)
e a questo punto posso chiamare $\partial_n$=$e'_n$ (vettore della base canonica duale)
con $e'_n(e_i)={(1,if i=n),(0,if i!=n):}$
quindi avrei associato ogni $\partial_n$ a un vettore della base canonica duale,e sarebbero quindi indipendenti

è un raginamento sbagliato?
spero di esser stata chiara

[killing_buddha]

Sì, hai trovato esattamente la base duale di V.

[Benihime1]

grazie mille