Esercizio sulle superfici - Curvature e direzioni principali

[Luigikr1]

Ciao ragazzi, se possibile vorrei una mano sullo svolgimento di un esercizio e in particolare sugli ultimi due punti che riguardano il modo di determinare le curvature e le rispettive direzioni.

La traccia mi chiede di trovare curvature e direzioni principali di questa superficie: $(u, v*u, v^2)$.

Allora, come prima cosa mi determino le varie derivate parziali che mi risultano essere:

$X_u= (1, v, 0)$, $X_v= (0, u, 2v)$, $X_(utimesv)= (2v^2, -2v, u)$
$X_uu= (0, 0, 0)$, $X_vv= (0, 0, 2)$, $X_uv= (0, 1, 0)$.

$N$= $((2v^2, -2v, u))/sqrt(4v^4+4v^2+u^2)$

Mi trovo quindi:

$E= 1 + v^2$, $F= uv$, $G=u^2 + 4v^2$ $to$ $E*G - F^2= 4v^4 + 4v^2 + u^2$

e:

$e= 0$, $f= -2v/sqrt(4v^4+4v^2+u^2)$, $G=2u/sqrt(4v^4+4v^2+u^2)$ $to$ $e*g - f^2= -4v^2/(4v^4+4v^2+u^2)$

Mi calcolo le curvature nel punto $u=v=1$ e quindi mi trovo:
- Curvatura di Gauss:
$(e*g - f^2)/(E*G - F^2) = (-4)/81$
- Curvature principali (e qui ho il primo problema):

$L= ((e,f), (f,g))*(-k)((E,F),(F,G))$

dove mi ricaverò, calcolandomi il determinante, un'equazione di secondo grado dove le soluzioni saranno le mie due curvature. E' giusto come metodo di risoluzione? Io ho qualche dubbio poichè il prodotto $k_1 * k_2$ (che faccio come verifica per vedere appunto se mi risulta la curvatura Gaussiana trovata prima), mi da $4/81$ col segno positivo quindi. Cosa sbaglio...?!

- Direzioni principali:
Ecco, qua invece sono proprio bloccato...
Sbaglio a dire che le direzioni principali sarebbero gli autovettori di questa matrice?

$A= ((e,f), (f,g))*((E,F),(F,G))^-1-((lambda,0),(0,lambda))$

Chi mi aiuta..?!

[Luigikr1]

Niente...?!