Esercizio sulle proprietà della chiusura

[valerio19961]

Siano A,B sottoinsiemi di uno spazio metrico X

Dimostrare che (chiusura di A U B ) = (chiusura di A) U (chiusura di B)

[randomize]

sia x appartenente a Chiusura(A U B) => esiste una successione xn di (A U B) convergente a x
per cui xn appartiene a A oppure xn appartiene a B ed essendo in generale uno spazio metrico sottoinsieme rispetto alla sua chiusura, allora xn appartiene a Chiusura(A) oppure xn appartiene a Chiusura(B) => xn appartiene a Chiusura(A) U Chiusura(B) e siccome l'unione di 2 chiusi è un chiuso e per l'unicità del limite allora x appartiente a Chiusura(A) U Chiusura(B)

sia ora x di Chiusura(A) U Chiusura(B) => x appartiene a Chiusura(A) oppure x appartiene a Chiusura(B) per cui esiste una successione xn di elementi di A che converge a x OPPURE esiste una successione xn di elementi di B che converge a x => xn appartiene a A U B e per definizione di chiusura x appartiene a Chiusura(A U B)