Esercizio sulle matrici diagonalizzabili
salve a tutti sono sempre io,con un esercizio nuovo
sia data la matrice $A=((1,2,2),(1,2,-1),(-1,1,4))$
determinare una matrice $P$ tale che $P^(-1)AP$ sia una matrice diagonale
inizio a calcolarmi il polinomio caratteristico di $A$ che e:
$p(X)=(1-x)(x-3)^2$
e trovo i relativi autovalori $x_1=1 x_2=3 x_3=3$
a questo punto dovrei calcolarmi l'autospazio,se ho intuito bene,ma non ho purtroppo capito bene come si fa,e quindi mi ritrovo di nuovo qui a chiedervi aiuto,magari con tutti i passaggi del caso
grazie a tutti per l'aiuto fornito
sia data la matrice $A=((1,2,2),(1,2,-1),(-1,1,4))$
determinare una matrice $P$ tale che $P^(-1)AP$ sia una matrice diagonale
inizio a calcolarmi il polinomio caratteristico di $A$ che e:
$p(X)=(1-x)(x-3)^2$
e trovo i relativi autovalori $x_1=1 x_2=3 x_3=3$
a questo punto dovrei calcolarmi l'autospazio,se ho intuito bene,ma non ho purtroppo capito bene come si fa,e quindi mi ritrovo di nuovo qui a chiedervi aiuto,magari con tutti i passaggi del caso
grazie a tutti per l'aiuto fornito
Risposte
Ciao,
per procedere passo passo, inizia a verificare se la matrice è diagonalizzabile....
Una matrice quadrata con $n$ righe è diagonalizzabile se:
1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è $n$
2) le molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti
quindi tu hai trovato gli autovali che sono $1$ e $3$ con rispettivamente molteplicità algebrica 1 e 2, quindi $1+2=3$ che coincide col numero delle righe della matrice.....ora devi calcolarti la molteplicità geometrica e verificare che, per ogni autovalore, coincida con quella algebrica....
la molteplicità geometrica (che coincide con la dimensione dell'autospazio) la si calcola:
$RR^n-rg(A-\lambda_iI)$ (dove con $\lambda_i$ intendo l'autovalore)
In questo modo verifichi che la matrice sia effettivamente diagonalizzabile....poi se la matrice è diagonalizzabile, allora per trovare $P$ puoi procedere impostando il seguente sistema:
$AP=\lambdaP$
(dove in questo caso con $\lambda$ non intendo l'autovalore, ma la matrice diagonale, la cui diagonale è composta dagli autovalori $\lambda_i$).
per procedere passo passo, inizia a verificare se la matrice è diagonalizzabile....
Una matrice quadrata con $n$ righe è diagonalizzabile se:
1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è $n$
2) le molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti
quindi tu hai trovato gli autovali che sono $1$ e $3$ con rispettivamente molteplicità algebrica 1 e 2, quindi $1+2=3$ che coincide col numero delle righe della matrice.....ora devi calcolarti la molteplicità geometrica e verificare che, per ogni autovalore, coincida con quella algebrica....
la molteplicità geometrica (che coincide con la dimensione dell'autospazio) la si calcola:
$RR^n-rg(A-\lambda_iI)$ (dove con $\lambda_i$ intendo l'autovalore)
In questo modo verifichi che la matrice sia effettivamente diagonalizzabile....poi se la matrice è diagonalizzabile, allora per trovare $P$ puoi procedere impostando il seguente sistema:
$AP=\lambdaP$
(dove in questo caso con $\lambda$ non intendo l'autovalore, ma la matrice diagonale, la cui diagonale è composta dagli autovalori $\lambda_i$).
questo,anche se spiegato decisamente meglio,e quello che ho nel libro,ma non riesco comunque ad applicarle,almeno per quanto riguarda la molteplicita geometrica.
forse,se mi scrivi la soluzione della parte relativa alla molteciplicita geometrica,chiarisco un po di piu le idee
forse,se mi scrivi la soluzione della parte relativa alla molteciplicita geometrica,chiarisco un po di piu le idee
finalmente ho capito!!!mi sfuggiva il concetto di $I$,ma ora mi e chiaro!!
vi ringrazio molto ragazzi,ora so calcolare entrambe le molteplicita ma ora ke ci faccio?
vi ringrazio molto ragazzi,ora so calcolare entrambe le molteplicita ma ora ke ci faccio?
A questo punto che hai verificato che la matrice è diagonizzabile, significa che esisterà una matrice $P$ tale che $P^-1AP=\lambda$
(dove con $\lambda$ intendo la matrice diagonale la cui diagonale è costituita dagli autovalori trovati).
dunque scrivere $P^-1AP=\lambda$ equivale a scrivere $AP=\lambdaP$
la matrice $P$ ovviamente ancora non la conosci, quindi i suoi elementi saranno:
$P=|(a, b, c), (d, e, f), (g, h, i)|$
Perciò $AP=\lambdaP$ risulta essere un sistema....lo devi risolvere e recuperare i volri di $a,b,c,d,....$ che sono gli elementi della matrice $P$.
Per fare una controverifica del risultato, una volta che hai trovato $P$, controlla che $P^-1AP=\lambda$ sia verificata.
Ciao
(dove con $\lambda$ intendo la matrice diagonale la cui diagonale è costituita dagli autovalori trovati).
dunque scrivere $P^-1AP=\lambda$ equivale a scrivere $AP=\lambdaP$
la matrice $P$ ovviamente ancora non la conosci, quindi i suoi elementi saranno:
$P=|(a, b, c), (d, e, f), (g, h, i)|$
Perciò $AP=\lambdaP$ risulta essere un sistema....lo devi risolvere e recuperare i volri di $a,b,c,d,....$ che sono gli elementi della matrice $P$.
Per fare una controverifica del risultato, una volta che hai trovato $P$, controlla che $P^-1AP=\lambda$ sia verificata.
Ciao
no qui davvero mi sono perso
come faccio a ricavare $P$ da $AP=\lambdaP$?!?!?!non dovrebbe essere possibile!
scusate se abuso della vostra pazienza,per fortuna domani e il 24 e finalmente saro piu autonomo
come faccio a ricavare $P$ da $AP=\lambdaP$?!?!?!non dovrebbe essere possibile!
scusate se abuso della vostra pazienza,per fortuna domani e il 24 e finalmente saro piu autonomo
vi chiedo scusa ma rileggendo il libro,a caccia della risposta,mi trovo un metodo risolutorio diverso
passa per basi spettrali,e cosi,prima di porvi la domanda,provo a cercare su internet,e riesco a trovare una pagina web con la risoluzione dell'esercizio che,apparte un punto,mi e chiara
ecco i passaggi che trovo:
$V_3={(x,y,z) in RR^3 : x=y+z}= (s+t,s,t) s,t in RR}={(1,1,0),(1,0,1)}$
$V_1={(x,y,z) in RR^3 : x=y+z y=-z}= (2t,-t,t) t in RR}={(2,-1,1)}$
ecco,da queste ricava il valore che mi serve di P
l'unica cosa che non capisco e da dove ricava le equazioni x=y+z e x=y+z y=-z
passa per basi spettrali,e cosi,prima di porvi la domanda,provo a cercare su internet,e riesco a trovare una pagina web con la risoluzione dell'esercizio che,apparte un punto,mi e chiara
ecco i passaggi che trovo:
$V_3={(x,y,z) in RR^3 : x=y+z}= (s+t,s,t) s,t in RR}={(1,1,0),(1,0,1)}$
$V_1={(x,y,z) in RR^3 : x=y+z y=-z}= (2t,-t,t) t in RR}={(2,-1,1)}$
ecco,da queste ricava il valore che mi serve di P
l'unica cosa che non capisco e da dove ricava le equazioni x=y+z e x=y+z y=-z
"tall99":
no qui davvero mi sono perso
come faccio a ricavare $P$ da $AP=\lambdaP$?!?!?!non dovrebbe essere possibile!
scusate se abuso della vostra pazienza,per fortuna domani e il 24 e finalmente saro piu autonomo
Si, hai ragione, il sistema risulta non risolvibile.....
"tall99":
l'unica cosa che non capisco e da dove ricava le equazioni x=y+z e x=y+z y=-z
come ti ha scritto "Sergio", qualche post procedente, l'autospazio è dato da:
$(A-\lambdaI)x=0$
quindi se vogliamo calcolarci l'autospazio legato all'autovalore $3$ si farà:
$|(-2, 2, 2), (1, -1, -1), (-1, 1, 1)||(a), (b), (c)|=0$
moltiplicando otteniamo il sistema:
$-2a+2b+2c=0$
$a-b-c=0$
$-a+b+c=0$
che come si può notare tutte e tre le equazioni equivalgono a $a=b+c$, ora se al posto della $a$ scriviamo la coordinata $x$, al posto della $b$ scriviamo la $y$ e al posto della $c$ scriviamo la $z$ otteniamo l'equazione $x=y+z$....ricordando che questo autospazio ha dimensione $2$, ossia deve essere composto da due vettori linearmente indipendenti, ci troviamo i due vettori che soddisfano l'equazione trovata, cioè $(1,0,1)$ e $(1,1,0)$.
Stessa cosa la si fa per l'autospazio relativo all'autovalore $1$...otteniamo:
$|(0, 2, 2), (1, 1, -1), (-1, 1, 3)||(a), (b), (c)|=0$
ossia moltiplicando:
$2b+2c=0$
$a+b-c=0$
$-a+b+3c=0$
risolvendo si ha: $b=-c$ e $a=2c$...sostituendo con le coordinate $x,y,z$, come fatto prima, abbiamo le due equazioni: $y=-z$ e $x=2z$, ricordandoci che questo autospazio ha dimensione $1$ ci cerchiamo l'unico vettore che lo compone e che deve soddisfare le due equazioni, cioè $(2, -1, 1)$.
Spero ti sia chiaro......
Quindi $P=|(1, 1, 2), (0, 1, -1), (1, 0, 1)|$ e $P^-1=|(-1/2, 1/2, 3/2), (1/2, 1/2, -1/2), (1/2, -1/2, -1/2)|$
Ciao!
Ciao!
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