Esercizio sulle coniche
salve a tutti durante lo svolgimento di un esercizio di una conica, di equazione
$x^2+4y^2+4xy - 4y=0$
mi sono sorti un paio di problemi che vi espongo qui di seguito:
1) il primo problema mi è sorto nel trovare il centro. Io per trovare il centro ho utilizato questo metodo:
$((1,2,0),(2,4,-2),(0,-2,0))$ dopo aver scoperto che il la conica non è degenere ed è una parabola per trovare il centro ho preso la prima equazione della matrice $ x+ 2y=0 $ e il centro è dato dai suoi parametri direttori $ (-b,a,0) $ quindi in questo caso esce il centro $ C(-2,1,0) $ ma è sbagliato perchè nei risultati dice che dovrebbe uscire $ C(2,-1,0) $. quindi ho sbagliato io o ha sbagliato l' esercizio?
2) Sempre in questo esercizio cè un altro punto in cui non sò da che parte girarmi. L' esercizio mi chiede di trovare il polo $P_oo$ della retta $ r: x+ 2y=0 $ e le equazioni cartesiane delle rette tangenti condotte da $P_oo$ a $C$. Il polo della retta deve uscire $(1,0,0)$ mentre le due rette tangenti hanno equazione $t_1: y=0$ e $t_2: x_3=0$
$x^2+4y^2+4xy - 4y=0$
mi sono sorti un paio di problemi che vi espongo qui di seguito:
1) il primo problema mi è sorto nel trovare il centro. Io per trovare il centro ho utilizato questo metodo:
$((1,2,0),(2,4,-2),(0,-2,0))$ dopo aver scoperto che il la conica non è degenere ed è una parabola per trovare il centro ho preso la prima equazione della matrice $ x+ 2y=0 $ e il centro è dato dai suoi parametri direttori $ (-b,a,0) $ quindi in questo caso esce il centro $ C(-2,1,0) $ ma è sbagliato perchè nei risultati dice che dovrebbe uscire $ C(2,-1,0) $. quindi ho sbagliato io o ha sbagliato l' esercizio?
2) Sempre in questo esercizio cè un altro punto in cui non sò da che parte girarmi. L' esercizio mi chiede di trovare il polo $P_oo$ della retta $ r: x+ 2y=0 $ e le equazioni cartesiane delle rette tangenti condotte da $P_oo$ a $C$. Il polo della retta deve uscire $(1,0,0)$ mentre le due rette tangenti hanno equazione $t_1: y=0$ e $t_2: x_3=0$
Risposte
I punti (-2,1,0 ) e ( (2,-1,0) differiscono solo per il fattore di proporzionalità -1 e quindi coincidono nel piano proiettivo. Vai tranquillo che non ci sono errori.
Per il secondo quesito io troverei dapprima i punti comuni alla parabola e alla retta r col sistema ( in coordinate proiettive) :
\begin{cases}x_1+2x_2=0 \\(x_1+2x_2)^2-4x_2x_3=0 \end{cases}
che fornisce i punti : $O(0,0,1), C(2,-1,0)$
Le tangenti alla parabola in tali punti si trovano con la formula :
$P^t\cdot M \cdot X=0$
Dove P è il punto in cui si vuole la tangente, M la matrice associata alla conica e $X=(x_1,x_2,x_3)^t$
Applicando tale formula al punto $O(0,0,1) $ si ottiene la retta $t_1: x_2=0$, cosa ovvia perché la tangente nell'origine ad una conica che vi passa si può ottenere eguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado della conica stessa.
Applicandola al punto $C(2,-1,0) $ si ottiene la retta $t_2: x_3=0$, cosa anche qui ovvia perché la tangente ad una parabola nel suo centro è proprio la retta impropria del piano della conica medesima .
L'intersezione delle due tangenti è il punto $R(1,0,0) $ e rappresenta il polo di r. Come richiesto.
Per il secondo quesito io troverei dapprima i punti comuni alla parabola e alla retta r col sistema ( in coordinate proiettive) :
\begin{cases}x_1+2x_2=0 \\(x_1+2x_2)^2-4x_2x_3=0 \end{cases}
che fornisce i punti : $O(0,0,1), C(2,-1,0)$
Le tangenti alla parabola in tali punti si trovano con la formula :
$P^t\cdot M \cdot X=0$
Dove P è il punto in cui si vuole la tangente, M la matrice associata alla conica e $X=(x_1,x_2,x_3)^t$
Applicando tale formula al punto $O(0,0,1) $ si ottiene la retta $t_1: x_2=0$, cosa ovvia perché la tangente nell'origine ad una conica che vi passa si può ottenere eguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado della conica stessa.
Applicandola al punto $C(2,-1,0) $ si ottiene la retta $t_2: x_3=0$, cosa anche qui ovvia perché la tangente ad una parabola nel suo centro è proprio la retta impropria del piano della conica medesima .
L'intersezione delle due tangenti è il punto $R(1,0,0) $ e rappresenta il polo di r. Come richiesto.
"ciromario":
I punti (-2,1,0 ) e ( (2,-1,0) differiscono solo per il fattore di proporzionalità -1 e quindi coincidono nel piano proiettivo. Vai tranquillo che non ci sono errori.
Per il secondo quesito io troverei dapprima i punti comuni alla parabola e alla retta r col sistema ( in coordinate proiettive) :
\begin{cases}x_1+2x_2=0 \\(x_1+2x_2)^2-4x_2x_3=0 \end{cases}
che fornisce i punti : $O(0,0,1), C(2,-1,0)$
Le tangenti alla parabola in tali punti si trovano con la formula :
$P^t\cdot M \cdot X=0$
Dove P è il punto in cui si vuole la tangente, M la matrice associata alla conica e $X=(x_1,x_2,x_3)^t$
Applicando tale formula al punto $O(0,0,1) $ si ottiene la retta $t_1: x_2=0$, cosa ovvia perché la tangente nell'origine ad una conica che vi passa si può ottenere eguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado della conica stessa.
Applicandola al punto $C(2,-1,0) $ si ottiene la retta $t_2: x_3=0$, cosa anche qui ovvia perché la tangente ad una parabola nel suo centro è proprio la retta impropria del piano della conica medesima .
L'intersezione delle due tangenti è il punto $R(1,0,0) $ e rappresenta il polo di r. Come richiesto.
grazie mille per la risposta veloce ma soprattuto chiara e precisa ora ho capito
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