Esercizio sulle basi
Ciao a tutti, sto risolvendo alcuni esercizi di appelli di algebra lineare, volevo rendervi partecipi della risoluzione per vedere se sto agendo correttamente.
L'esercizio è questo :
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1) trovo i tre vettori [tex]V_{1}= (1, 1, 0) \ V_{2}= (0, 1, 1) \ V_{3}= (1,0, 1)[/tex]
La matrice associata è
$A=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]$
Calcolo il determinante per vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti e dopo 3 riduzioni ottengo :
$A=[[1,1,0],[0,1,1],[0,0,2]]$
$det(A)=2$
Il determinante è $!=$ 0 e ne deduco che i tre vettori sono linearmente indipendenti quindi posso affermare che formano una base di V
Scrivo il sistema ottenuto e lo pongo uguale a $ a \ b \ c $
$\{(x + y = a),(y + z = b),(2z=c):}$
risolvendo il sistema ottengo i valori:
$\{(x=a-b+c/2),(y=b-c/2),(z=c/2):}$
Posso scrivere qualsiasi vettore appartenente a $V$ come combinazione lineare della base formata da $V_1,V_2,V_3$ nella forma:
$(a-b+c/2,b-c/c,c/2)$
Puo' essere lontamente corretto ?
L'esercizio è questo :
Uploaded with ImageShack.us
1) trovo i tre vettori [tex]V_{1}= (1, 1, 0) \ V_{2}= (0, 1, 1) \ V_{3}= (1,0, 1)[/tex]
La matrice associata è
$A=[[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]]$
Calcolo il determinante per vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti e dopo 3 riduzioni ottengo :
$A=[[1,1,0],[0,1,1],[0,0,2]]$
$det(A)=2$
Il determinante è $!=$ 0 e ne deduco che i tre vettori sono linearmente indipendenti quindi posso affermare che formano una base di V
Scrivo il sistema ottenuto e lo pongo uguale a $ a \ b \ c $
$\{(x + y = a),(y + z = b),(2z=c):}$
risolvendo il sistema ottengo i valori:
$\{(x=a-b+c/2),(y=b-c/2),(z=c/2):}$
Posso scrivere qualsiasi vettore appartenente a $V$ come combinazione lineare della base formata da $V_1,V_2,V_3$ nella forma:
$(a-b+c/2,b-c/c,c/2)$
Puo' essere lontamente corretto ?
Risposte
Non va bene, non sono quelle le componenti.
Anzichè con la riduzione, per una matrice $3x3$ utilizza la regola di Sarrus per calcolare il determinante.
Poi per determinare le componenti, la matrice ti conviene scriverla in questo modo: $((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$, cosi risolverai il sistema:
$((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$$((x),(y),(z))=((a),(b),(c))$.
Se proprio hai pazienza e vuoi utilizzare Gauss-Jordan, allora con una fava due piccioni. Riduci e trovi le soluzioni:
$((1,0,1,a),(1,1,0,b),(0,1,1,c))$.
Anzichè con la riduzione, per una matrice $3x3$ utilizza la regola di Sarrus per calcolare il determinante.
Poi per determinare le componenti, la matrice ti conviene scriverla in questo modo: $((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$, cosi risolverai il sistema:
$((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$$((x),(y),(z))=((a),(b),(c))$.
Se proprio hai pazienza e vuoi utilizzare Gauss-Jordan, allora con una fava due piccioni. Riduci e trovi le soluzioni:
$((1,0,1,a),(1,1,0,b),(0,1,1,c))$.
ok, grazie per la perentoria risposta
seguo il tuo ragionamento:
la matrice associata di $v_1 \ v_2 \ v_3$ è
$\[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]$
applico la regola di sarrus e trovo che il determinante è:
$det(A)= ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ,1 ) ) = 1 + 0 + 1 -0 -0 -0 = 2$
e fin qui ok
posso dire che i 3 vettori sono L.I. e quindi sono generatori che sono anche una base di $\mathbb{R}^3$
"prendo due piccioni con un fava" riducendo con Gauss-Jordam
$( ( 1 , 0 , 1 , a ),( 1 , 1 , 0 , b),( 0 , 1 , 1 ,c) ) $
da cui ottengo:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , (a+b-c)/2 ),( 0 , 1 , 0 , (-a+b+c)/2 ),( 0 , 0 , 1 , (a-b+c)/2 ) ) $
L'ultimo passaggio è scrivere un vettore $(a,b,c) \in V$ in base $V_1 V_2 V_3$:
non sarebbe altro che esplicitare $x \ y \ z $ trovate prima con la riduzione del sistema, quindi posso scrivere un generico vettore come $( (a+b-c)/2 , (-a+b+c)/2, (a-b+c)/2 ) \in V $ con $\mathfrak{B}=V_1,V_2,V_3$
Ora è ok o c'è qualche operazione ulteriore da fare?
seguo il tuo ragionamento:
la matrice associata di $v_1 \ v_2 \ v_3$ è
$\[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]$
applico la regola di sarrus e trovo che il determinante è:
$det(A)= ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ,1 ) ) = 1 + 0 + 1 -0 -0 -0 = 2$
e fin qui ok
posso dire che i 3 vettori sono L.I. e quindi sono generatori che sono anche una base di $\mathbb{R}^3$"prendo due piccioni con un fava" riducendo con Gauss-Jordam
$( ( 1 , 0 , 1 , a ),( 1 , 1 , 0 , b),( 0 , 1 , 1 ,c) ) $
da cui ottengo:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , (a+b-c)/2 ),( 0 , 1 , 0 , (-a+b+c)/2 ),( 0 , 0 , 1 , (a-b+c)/2 ) ) $
L'ultimo passaggio è scrivere un vettore $(a,b,c) \in V$ in base $V_1 V_2 V_3$:
non sarebbe altro che esplicitare $x \ y \ z $ trovate prima con la riduzione del sistema, quindi posso scrivere un generico vettore come $( (a+b-c)/2 , (-a+b+c)/2, (a-b+c)/2 ) \in V $ con $\mathfrak{B}=V_1,V_2,V_3$
Ora è ok o c'è qualche operazione ulteriore da fare?
"davymartu":
quindi posso scrivere un generico vettore come $( (a+b-c)/2 , (-a+b+c)/2, (a-b+c)/2 ) \in V $ con $\mathfrak{B}=V_1,V_2,V_3$
Ora è ok o c'è qualche operazione ulteriore da fare?
A dire il vero è scrivere un generico vettore $(a,b,c)inRR^3$, in unico modo, come combinazione lineare dei vettori della base $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ tramite i coefficienti $( (a+b-c)/2 , (-a+b+c)/2, (a-b+c)/2 )$.
In altre parole il generico vettore $(a,b,c)=((a+b-c)/2)(1,1,0)+((-a+b+c)/2)(0,1,1)+((a-b+c)/2)(1,0,1)$.
"weblan":
cosi risolverai il sistema:
$((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$$((x),(y),(z))=((a),(b),(c))$.
Ho provato a risolvere da me questo sistema ma non credo di farlo bene mi sa:
$x+z=a$
$x+y=b$
$y+z=c$
dov è che sbaglio?
Cosa vuol dire ho provato da me a risolvere?
nel senso che ho svolto quella matrice, per vedere se mi trovavo con voi, purtroppo non riesco a capire il meccanismo
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