Esercizio sulle basi

[marifl92]

sia B=v1,v2,v3,v4; una base per lo spazio vettoriale Vk.Dimostrare che la base B'=v1,v1+v2,v1+v3,v1+v4; è una base per lo spazio vettoriale vK.


Allora io so che una base è per definizione una famiglia indipendente di generatori.Ora sappiamo che B è una base per Vk, ma come faccio a dimostrare che anche B' lo è? HELP!

[mistake89]

Ti basta provare che quei 4 vettori sono linearmente indipendenti.

[marifl92]

allora ho proceduto in questo modo:

siccome dimVk=4 i 4 vettori formano una base se ,e solo se, essi sono linearmente indipendenti.Consideriamo allora l equazione:

xV1+y(V1+V2)+z(V1+V3)+h(V1+V4)=0

cioè, mettendo in evidenza:

(x+y+z+h)V1+yV2+zV3+hV4=0.

Ora siccome V1,V2,V3,V4 sono linearmente indipendenti per ipotesi,la relazione precedente vale solo se x+y+z+h=y=z=h=0.Ciò implica
x=y=z=h=0. Quindi B' è una base di VK.


potrebbe andare???e grazie infinite per la dritta

[mistake89]

Sì va bene. Buono studio

[marifl92]

grazie mille...