Esercizio sulle applicazioni lineari

[Lorin1]

Devo dimostrare attraverso calcoli che questa:

$f:RR^2 -> RR^3$

$f(x,y) = (2x+y,x+y,y-1)$

Non è un applicazione lineare.


Il mio problema è questo. La prof ha introdotto le applicazioni lineari gli ultimi minuti della lezione, garantendoci una spiegazione più dettagliata la lezione successiva e ci ha dato questo esercizio da fare. Poi sfortunatamente si è ammalata ed è venuta l'assistente che non ha una grande abilità a spiegare e quindi non ci ho capito un tubo. Vorrei che qualcuno con un pò di pazienza mi facesse capire come si svolgono questo tipo di esercizi, fino a giustificare la non linearità.

Grazie

[bezout]

Def:
Siano $X,Y$ due $RR$-spazi vettoriali allora $f$:$X$-->$Y$ è lineare se per ogni $a,b in RR$ e per ogni $x,z in X$ si ha che $f(ax+bz)=af(x)+bf(z)$.
Oss:
Se $f$:$X$-->$Y$ è lineare allora $f(0)=0$
Dim:
per assurdo $f(0)$ diverso $0$ allora $f(0)=c$ con $c$ diverso da $0$ allora $c=f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2c$ assurdo allora $f(0)=0$.
Nel tuo caso $f((0,0))=(0,0,-1)$ che è diverso dal vettore nullo e quindi $f$ non è lineare

[Lorin1]

E' l'unico modo?

[bezout]

no puoi usare la definizione infatti
$f(a(x,y)+b(z,w))=f((ax+bz,ay+bw))=(2(ax+bz)+ay+bw,ax+bz+ay+bw,ay+bw-1)$ mentre
$af(x,y)+bf(z,w)=(2ax+ay,ax+ay,ay-a)+(2bz+bw,bz+bw,bw-b)=((2(ax+bz)+ay+bw,ax+bz+ay+bw,ay+bw-a-b)$
e come vedi a meno che $-a-b=-1$ questi due vettori sono diversi

[Lorin1]

si forse era proprio questa che voleva la mia prof....grazie.