Esercizio sulle applicazioni lineari

[Yuyu_13]

Buonasera. Sto provando a svolgere il seguente esercizio.
Esercizio:
Sia $f:V to W$ applicazione lineare e siano $A,B subseteq V$ sottospazi vettoriali tali che

$AcapB={0_V}$ e $(A+B)capKerf={0_V}.$

Dimostrare

$f(A)capf(B)={0_W}$

Risoluzione:
Ho pensato che la soluzione sia di verificare che l'applicazione $f$ sia iniettiva per poi osservare

${0_W}=^1f(0_V)=^2f(AcapB)=^3f(A)capf(B)$

1=linearità, 2=ipotesi, 3=iniettività (se c'è )

In tal caso per dimostrare che $f$ risulti iniettiva devo verificare che il $Kerf={0_V}.$

Suppongo per assurdo che $Kerf ne {0_V}$ allora esiste un $y in Kerf \ : \ y ne 0_V.$
Presi $v,v' in (A+B)+Kerf$ non nulli, allora, per ipotesi esistono e sono unici $x, x' in A+B$ per cui

$v=x+y,\qquad v'=x'+y$

Dunque $v,v' in (A+B)+Kerf$ allora $v+v'(A+B)+Kerf$ quindi esistono e sono unici

$alpha in A+B, qquad beta in Kerf$ per cui $v+v'=alpha + beta$

Allora da

$v+v'=alpha + beta<=>(x+x')-alpha=beta-2y$

l'intersezione risulterebbe

$ (A+B)capKerf ne{0_V}.$

Può andare bene?

[Studente Anonimo]

Temo proprio di no. Infatti, non si comprende il motivo per cui l'applicazione f dovrebbe essere necessariamente iniettiva. Del resto, le ipotesi sarebbero soddisfatte anche considerando tre rette passanti per l'origine non complanari, una per A, una per B e una per kerf.

"Yuyu_13":

$f(A)capf(B)={0_V}$

Come, l'intersezione a primo membro, possa dare il vettore nullo dello spazio V di partenza non è dato sapere. Al limite, può dare il vettore nullo dello spazio W di arrivo.

[Yuyu_13]

Buongiorno, si ho corretto. Grazie.
Comunque, pensavo di risolvere in via più algebrica se si può dire cosi
Infatti,
$y in f(A)capf(B) <=> y in f(A)$ e $y in f(B)$, allora $exists a in A: y=f(a)$ e $exists b in B: y=f(b)$
quindi si ha $y=f(a)=f(b) => f(a)-f(b)=O_W =>f(a-b)=O_W.$
Ricordando la forma degli elementi del $kerf$ e di $A+B$ si ha $a-b in Kerf$ e $a-b in A+B.$
Dunque, $a-b=O_V =>a=b$ essendo $(A+B)capKerf$.
Inoltre da $a=b$ segue che $a in B$ cioè sta nell'intersezione e quindi $a=O_V=b$, per cui si ha
$y=f(O_V)=O_W$