Esercizio sulle applicazioni lineari

[asso951]

Salve,
questo esercizio sulle applicazioni lineari mi sta creando diversi problemi:
"Sia $ f :$ $R^3$$->$ $R^3$ l'applicazione lineare tale che
$(1; 2;-1)$ $in$ $V_-2$; $(2; 1; 1)$ $in$ $V_3$; $f(-2; 0; 3) = (10; 19; 1)$.
Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Studiare la diagonalizzabilita di f."
La mia ipotesi risolutiva sarebbe questa:
verifico che i vettori $ (1;2;-1), (2;1;1), (10;19;1)$ sono linearmente indipendenti tali da formare una base;
la matrice associata alla base canonica risulterebbe quindi: $((1,2,-1),(2,1,1),(10,19,1))$.
Ringrazio in anticipo per la risposta.

[asso951]

Qualcuno saprebbe indicarmi la strada?

[jJjjJ1]

Allora hai $V_{-2}$ autospazio relativo all'autovalore -2. Poiché $(1;2;-1) \in V_{-2} $ sai che $f(1;2;-1) = -2(1;2;-1) = (-2;-4;2)$
Allo stesso modo sai che $(2;1;1) \in V_3$ allora $f(2;1;1) = 3(2;1;1) = (6;3;3) $

I vettori $(1;2;-1), (2;1;1), (-2;0;3)$ sono linearmente indipendenti quindi formano una base $\beta$ di $R^3$ Sappiamo anche quali sono le loro immagini attraverso $f$ perciò possiamo costruire la matrice associata $M_{\epsilon}^\beta$ semplicemente disponendo per colonna i vettori immagine della base. Ci viene chiesto di determinare $f$ rispetto alla base canonica, allora sarà sufficiente esprimere i vettori della base canonica come c.l. dei vettori di $\beta$ e calcolare le loro immagini ( Non lo faccio, troppi calcoli )

Per la diagonalizzabilità basta che ti calcoli gli autovalori della matrice che troverai e che studi la dimensione dei relativi autospazi...

[asso951]

Grazie per la risposta