Eserc:izio sulle applicazioni differenziabili
Salve a tutti.
Provavo a fare questo esercizio ma come al solito vengo assalito dai dubbi:
sia $\psi:M->N$ un'applicazione differenziabile. Si supponga che in un punto $x \in M$ risulti (Rank $\psi$)=dim N.
Provare che scelte ad arbitrio coordinate locali $y^1,.....y^m$ in un intorno di $\psi(x)$,
le funzioni $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono funzionalmente indipendenti in un intorno di x;
le $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono i pull-back delle una funzioni differenziabili $y^\alpha$ che sono anche coordinate locali sulla varietà N
Ora il testo lascia generico la dim di N e M specifica solo il rango dell'applicazione.
il fatto che le $y^\alpha$ sono differenziabili su N ed i pull back $y^alpha(x_1,.......x_n)$ definiscono altrettante funzioni diff. su
M mi dovrebbe garantire che il determinante dello jacobiano delle $y^\alpha(x_1,.....x_n)$ sia diverso da zero matematicamente equivalente all'indipendenza lineare delle m funzioni $y^\alpha$......questo ragionamento è corretto?
Tuttavia non capisco l'esigenza di avere il rango dell'applicazione = dim N...... cosa cambierebbe se così non fosse?
grazie
Provavo a fare questo esercizio ma come al solito vengo assalito dai dubbi:
sia $\psi:M->N$ un'applicazione differenziabile. Si supponga che in un punto $x \in M$ risulti (Rank $\psi$)=dim N.
Provare che scelte ad arbitrio coordinate locali $y^1,.....y^m$ in un intorno di $\psi(x)$,
le funzioni $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono funzionalmente indipendenti in un intorno di x;
le $\psi^*(y^\alpha),\alpha =1,....m$ sono i pull-back delle una funzioni differenziabili $y^\alpha$ che sono anche coordinate locali sulla varietà N
Ora il testo lascia generico la dim di N e M specifica solo il rango dell'applicazione.
il fatto che le $y^\alpha$ sono differenziabili su N ed i pull back $y^alpha(x_1,.......x_n)$ definiscono altrettante funzioni diff. su
M mi dovrebbe garantire che il determinante dello jacobiano delle $y^\alpha(x_1,.....x_n)$ sia diverso da zero matematicamente equivalente all'indipendenza lineare delle m funzioni $y^\alpha$......questo ragionamento è corretto?
Tuttavia non capisco l'esigenza di avere il rango dell'applicazione = dim N...... cosa cambierebbe se così non fosse?
grazie
Risposte
......Voglio dire il det dello jacobiano garantisce l'invertibilità locale da ciò posso esprimere le $y^\alpha$ come "vettori base" nelle $x_1,......x_n$ che risultano essere funzionalmente indipendenti ossia:
$a y^1(x_1,.....x_n) + b y^2(x_1,.....x_n)+..............+m y^m(x_1,.....x_n)=0 $ se e solo se $a=b=.....=m=0$
$a y^1(x_1,.....x_n) + b y^2(x_1,.....x_n)+..............+m y^m(x_1,.....x_n)=0 $ se e solo se $a=b=.....=m=0$
Qualche ipotesi su \(\psi\) ci vuole per forza. Ad esempio, se \(\psi\) fosse costante, hai voglia a calcolare \(\psi(y^{\alpha})\), non otterresti mai delle cose indipendenti. (Ma \(y^{\alpha}\) che cos'è? Io ci leggerei una funzione a valori scalari ma così non ha molto senso la composizione con \(\psi\)...)
le $y^\alpha$ sono il sistema di coordinate locali sulla varietà N legate da un omeomorfismo su $R^m$
...ad ogni modo la prossima settimana cerco il proff. e mi faccio chiarire BENE un paio di concetti sui pull-back e sulle conseguenze delle applicazioni differenziabili.....ho cercato su diversi testi ma nessuna osservazione letta mi ha chiarito
le proprietà "nascoste" dal problema posto.
le proprietà "nascoste" dal problema posto.
"kaimano":
le $y^\alpha$ sono il sistema di coordinate locali sulla varietà N legate da un omeomorfismo su $R^m$
Aaaaahhh aspetta aspetta... tu intendi \(\psi^\star(y^\alpha)\) e non \(\psi(y^\alpha)\)! Cerca di non usare * ma \star, perché il parser rende il primo con un microscopico puntino: \(\psi^\cdot\) contro \(\psi^\star\).
Scusa 
Ma che cos'è il pull-back di un sistema di coordinate? Immagino sia
\[\psi^\star(y^\alpha)=y^\alpha \circ \psi,\]
giusto? Se è così allora mi pare ci sia solo da applicare la regola per il differenziale della funzione composta.
\[\psi^\star(y^\alpha)=y^\alpha \circ \psi,\]
giusto? Se è così allora mi pare ci sia solo da applicare la regola per il differenziale della funzione composta.
Si il pull-back è quello di fatto ottieni delle composizioni di funzioni "spostando" il problema sulla varietà di partenza..... entrando tuttavia nel merito del problema per dimostrarne l'indipendenza lineare delle m "funzioni composte" cosa ne pensi?
Mi pare immediato: definisci \(Y=(y^\alpha)_{\alpha=1, 2...}\), una funzione di \(N\) in \(\mathbb{R}^m\). Allora \(Y\circ F\) avrà rango massimo in \(x\) e questa è esattamente la tesi. Vedi bene i dettagli però che io non l'ho fatto.
$F$ sarebbe la $\psi$ ovvero l'applicazione differenziabile?
Però quello che non mi convince è questo (e forse nasconde una mia lacuna):
Se la varietà di partenza M fosse riferita ad un $R^n$ attraverso un omeomorfismo e la varietà di arrivo N ad un $R^m $ con altro omeo...
le arbitrie m $y^\alpha$ risulterebbero sempre "funzionalmente indipendenti"? per spazi di dimensione diversa?
Od il fatto che la $\psi(x)$ debba avere rango max =dim N in qualche modo annulla la mia ipotesi?
Forse è solo fumo negli occhi ma visto che ne parliamo vorrei spazzarlo via definitivamente
Però quello che non mi convince è questo (e forse nasconde una mia lacuna):
Se la varietà di partenza M fosse riferita ad un $R^n$ attraverso un omeomorfismo e la varietà di arrivo N ad un $R^m $ con altro omeo...
le arbitrie m $y^\alpha$ risulterebbero sempre "funzionalmente indipendenti"? per spazi di dimensione diversa?
Od il fatto che la $\psi(x)$ debba avere rango max =dim N in qualche modo annulla la mia ipotesi?
Forse è solo fumo negli occhi ma visto che ne parliamo vorrei spazzarlo via definitivamente
Scusami, sto avendo un po' da fare purtroppo... Vedo di rispondere appena possibile; nel frattempo scrivi per bene la definizione di "funzionalmente indipendenti" in un punto per un sistema di funzioni. Si tratta solo di ragionare su questo nella stessa identica maniera che nel caso lineare.
Vediamo:
siano $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ i pull-back sul sistema di coordinale locali scelti in un intorno di $\psi(x), x \in M$ ovvero le m funzioni a valori in x;
sia inoltre f una funzione appartenente alla classe delle funzioni differenziabili sull'intorno $W sup \psi(x)$ ovvero $f \in F(W)$ di classe $C^1(W)$
allora le $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ si dicono funzionalmente dipendenti se e solo se esiste una f di derivate non tutte nulle t.c. $f(\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m))= 0$ per ogni elemento dell'intorno di x
Per la soluzione del problema se riuscissi a dimostrare che il rango massimo dell'applicazione $\psi$ è matematicamente equivalente al rango massimo dello Jacobiano (devo riguardare i vecchi appunti di Anal2..) allora avrei finito perché
se $Rank(J(\psi))=dim N$ allora le m funzioni $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ sono indipendenti per un altro teorema dell'analisi dimostrabile per assurdo.
siano $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ i pull-back sul sistema di coordinale locali scelti in un intorno di $\psi(x), x \in M$ ovvero le m funzioni a valori in x;
sia inoltre f una funzione appartenente alla classe delle funzioni differenziabili sull'intorno $W sup \psi(x)$ ovvero $f \in F(W)$ di classe $C^1(W)$
allora le $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ si dicono funzionalmente dipendenti se e solo se esiste una f di derivate non tutte nulle t.c. $f(\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m))= 0$ per ogni elemento dell'intorno di x
Per la soluzione del problema se riuscissi a dimostrare che il rango massimo dell'applicazione $\psi$ è matematicamente equivalente al rango massimo dello Jacobiano (devo riguardare i vecchi appunti di Anal2..) allora avrei finito perché
se $Rank(J(\psi))=dim N$ allora le m funzioni $\psi^\star(y^1),......\psi^\star(y^m)$ sono indipendenti per un altro teorema dell'analisi dimostrabile per assurdo.
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