Esercizio sulla struttura simplettica
Ho bisogno di un chiarimento sulle strutture simplettiche ed in particolare come si compongono; un esempio di esercizio:
provare che l'operazione di prodotto vettoriale attribuisce al piano euclideo bidimensionale $E_2$ una struttura simplettica.
Immagino che se $(E_2,\omega)$ è la struttura, $z_1,z_2$ sono elementi di $E_2$ possa scrivere:
$\omega(z_1,z_2)=z_1 ^^ z_2=x_1y_2-y_1x_2$ è corretto? oppure $z_1^^ z_2 - z_2 ^^ z_1$???
Devo dimostrare che la matrice $\Omega_{i,j}=\omega(X_i,X_j)$ ha determinante non nullo:
$X_i$ sono i vettori appartenenti allo spazio tangente alla varietà si indicano come $X_x=\partial/partial_x ,X_y=\partial/partial_y$?
e come vanno composti nel bilineare $\omega(X_i,X_j)=$??? cosi? $X_i ^^ X_j - X_j ^^ X_i$
come dimostro che $d\omega!=0$ ?
grazie per il chiarimento
provare che l'operazione di prodotto vettoriale attribuisce al piano euclideo bidimensionale $E_2$ una struttura simplettica.
Immagino che se $(E_2,\omega)$ è la struttura, $z_1,z_2$ sono elementi di $E_2$ possa scrivere:
$\omega(z_1,z_2)=z_1 ^^ z_2=x_1y_2-y_1x_2$ è corretto? oppure $z_1^^ z_2 - z_2 ^^ z_1$???
Devo dimostrare che la matrice $\Omega_{i,j}=\omega(X_i,X_j)$ ha determinante non nullo:
$X_i$ sono i vettori appartenenti allo spazio tangente alla varietà si indicano come $X_x=\partial/partial_x ,X_y=\partial/partial_y$?
e come vanno composti nel bilineare $\omega(X_i,X_j)=$??? cosi? $X_i ^^ X_j - X_j ^^ X_i$
come dimostro che $d\omega!=0$ ?
grazie per il chiarimento
Risposte
Guarda, devi dimostrare che \((E_2;\wedge)\) ha una struttura simplettica; ove \(\wedge\) è il prodotto vettoriale tra due vettori.
Non saprei dirti altro!
Non saprei dirti altro!
Ricordi la definizione?
Una struttura simplettica (vettoriale) è il dato di uno spazio vettoriale \(V\) ed una forma bilineare \(\omega:V\times V\longrightarrow V\) che sia alternante e non degenere (ovvero \(\omega (v,v)=0\) per tutti i vettori \(v\in V\)). Perché non sia degenere, ti basta verificare che la matrice di \(\omega\) è appunto non singolare.
Nel tuo caso, \(\omega = \wedge\)...
Una struttura simplettica (vettoriale) è il dato di uno spazio vettoriale \(V\) ed una forma bilineare \(\omega:V\times V\longrightarrow V\) che sia alternante e non degenere (ovvero \(\omega (v,v)=0\) per tutti i vettori \(v\in V\)). Perché non sia degenere, ti basta verificare che la matrice di \(\omega\) è appunto non singolare.
Nel tuo caso, \(\omega = \wedge\)...
Stiamo attenti a non confondere una forma simplettica sullo SPAZIO VETTORIALE \(E_2\) da una forma simplettica sulla VARIETÀ \(E_2\).
Su \(E_2\) come spazio vettoriale, consideriamo (al variare di \( \alpha \in \mathbb{R} \)) le applicazioni \( \omega_{\alpha} \colon E_2 \times E_2\ \to \mathbb{R} \) definite da \( \omega_{\alpha} (X,Y) = \alpha XJY^T\), dove \(J = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & +1 \\ -1 & 0\end{smallmatrix} \bigr)\).
Esercizio: mostrare che, se \( \omega \) è una forma simplettica su \( E_2 \), allora \(\omega = \omega_{\alpha}\) per qualche \(\alpha \neq 0\). Detto in altri termini, tutte le forma simplettiche su \(E_2\) sono del tipo \(\alpha \omega_1\), al variare di \( \alpha \neq 0 \).
Se \( V \) è uno spazio vettoriale astratto di dimensione \(2\) su \(\mathbb{R}\), fissiamone una base \( (u,v) \) e definiamo su \(V\) la forma simplettica \( u^* \wedge v^*\) come quella che, rispetto alla base \( (u,v) \), è rappresentata dalla matrice \(J\). Allora, anche in questo caso, ogni forma simplettica su \(V\) è del tipo \( \alpha u^* \wedge v^*\) al variare di \( \alpha \neq 0\).
Adesso, consideriamo \(E_2\) come varietà. In questo caso, fissare una forma simplettica su \(E_2\) vuol dire fissare per ogni punto \( (x,y) \in E_2\) una forma simplettica sullo spazio vettoriale avente per base \( (\partial / \partial x, \partial / \partial y) \). Allora, se chiamiamo \( (\partial / \partial x)^* = \textrm{d}x \) e \( (\partial / \partial y)^* = \textrm{d}y \), per tutto quello che abbiamo detto, una forma simplettica \( \omega \) su \(E_2\) è un oggetto del tipo
\[
\omega = f(x,y) \textrm{d}x \wedge \textrm{d}y
\]
dove \( f \colon E_2 \to \mathbb{R} \) è una funzione che non ha zeri. Cioè \(\omega \) è quella che sia chiama forma di volume per \( E_2\) e per la quale, chiaramente, \( \textrm{d}\omega = 0\).
Se adesso indichiamo con \( \times \) il prodotto vettoriale (in \( E_3\) !), abbiamo che \( (x_1,y_1,0) \times (x_2,y_2,0) = (0,0,c = x_1 y_2 - x_2 y_1)\), e la forma VETTORIALE \( ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \mapsto c \) è effettivamente simplettica (è proprio quella che abbiamo chiamato \( \omega_1 \)).
Ho cercato in interpretare la tua domanda (che non è molto precisa), sperando di essere riuscito a chiarirti qualche dubbio.
Su \(E_2\) come spazio vettoriale, consideriamo (al variare di \( \alpha \in \mathbb{R} \)) le applicazioni \( \omega_{\alpha} \colon E_2 \times E_2\ \to \mathbb{R} \) definite da \( \omega_{\alpha} (X,Y) = \alpha XJY^T\), dove \(J = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & +1 \\ -1 & 0\end{smallmatrix} \bigr)\).
Esercizio: mostrare che, se \( \omega \) è una forma simplettica su \( E_2 \), allora \(\omega = \omega_{\alpha}\) per qualche \(\alpha \neq 0\). Detto in altri termini, tutte le forma simplettiche su \(E_2\) sono del tipo \(\alpha \omega_1\), al variare di \( \alpha \neq 0 \).
Se \( V \) è uno spazio vettoriale astratto di dimensione \(2\) su \(\mathbb{R}\), fissiamone una base \( (u,v) \) e definiamo su \(V\) la forma simplettica \( u^* \wedge v^*\) come quella che, rispetto alla base \( (u,v) \), è rappresentata dalla matrice \(J\). Allora, anche in questo caso, ogni forma simplettica su \(V\) è del tipo \( \alpha u^* \wedge v^*\) al variare di \( \alpha \neq 0\).
Adesso, consideriamo \(E_2\) come varietà. In questo caso, fissare una forma simplettica su \(E_2\) vuol dire fissare per ogni punto \( (x,y) \in E_2\) una forma simplettica sullo spazio vettoriale avente per base \( (\partial / \partial x, \partial / \partial y) \). Allora, se chiamiamo \( (\partial / \partial x)^* = \textrm{d}x \) e \( (\partial / \partial y)^* = \textrm{d}y \), per tutto quello che abbiamo detto, una forma simplettica \( \omega \) su \(E_2\) è un oggetto del tipo
\[
\omega = f(x,y) \textrm{d}x \wedge \textrm{d}y
\]
dove \( f \colon E_2 \to \mathbb{R} \) è una funzione che non ha zeri. Cioè \(\omega \) è quella che sia chiama forma di volume per \( E_2\) e per la quale, chiaramente, \( \textrm{d}\omega = 0\).
Se adesso indichiamo con \( \times \) il prodotto vettoriale (in \( E_3\) !), abbiamo che \( (x_1,y_1,0) \times (x_2,y_2,0) = (0,0,c = x_1 y_2 - x_2 y_1)\), e la forma VETTORIALE \( ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \mapsto c \) è effettivamente simplettica (è proprio quella che abbiamo chiamato \( \omega_1 \)).
Ho cercato in interpretare la tua domanda (che non è molto precisa), sperando di essere riuscito a chiarirti qualche dubbio.
Si in effetti il testo dell'esercizio non specifica se si parla di spazio vettoriale o di varietà , tuttavia la seconda parte che non ho postato chiede di caratterizzare le parentesi di Poisson quindi penso si riferisca alla varietà $E_2$.
grazie a tutti
grazie a tutti
Non ho capito niente
Parentesi di Poisson? 
O forse vuoi dire parentesi di Lie?
A questo punto non capisco manco io più nulla!
O forse vuoi dire parentesi di Lie?A questo punto non capisco manco io più nulla!
scusate mi ero perso un pezzo della risposta finale di elvis.....ho eliminato l'ultima parte del mio ultimo messaggio e provo a spiegarmi un po' meglio
Il testo rimanente dice:
Caratterizzare le parentesi di Poisson relative a tale struttura. In particolare riferito ad $E_2$ a coordinate cartesiane ortogonali x,y per ogni coppia di funzioni f,g valutare {f.g}.
Le parentesi di Poisson si possano definire attraverso il fibrato cotagente T*(E2)
Quello che ho letto è che mediante (quella che chiami) $\omega_1 (X,Y)$, un generico vettore X su $T^*(M)$ (c'è la stella ma non si vede bene...) risulta univocamente associato un funzionale lineare sui vettori cioè una forma differenziale lineare $\omega_x$ sempre sul fibrato
Risulta vero anche il viceversa ovvero scelta una forma differenziale $\omega$ esiste un solo vettore X che soddisfa
la condizione $<\omega,Y> =\omega_1(X,Y) AA Y in T(T^*(M))$
In sostanza vettori e forma differenziali lineari sono in corrispondenza biunivoca sul fibrato.
Ma occorre definire la forma differenziale associata al vettore X.... da li si possono poi definire le parentesi di Poisson
Spero di essermi spiegato
Il testo rimanente dice:
Caratterizzare le parentesi di Poisson relative a tale struttura. In particolare riferito ad $E_2$ a coordinate cartesiane ortogonali x,y per ogni coppia di funzioni f,g valutare {f.g}.
Le parentesi di Poisson si possano definire attraverso il fibrato cotagente T*(E2)
Quello che ho letto è che mediante (quella che chiami) $\omega_1 (X,Y)$, un generico vettore X su $T^*(M)$ (c'è la stella ma non si vede bene...) risulta univocamente associato un funzionale lineare sui vettori cioè una forma differenziale lineare $\omega_x$ sempre sul fibrato
Risulta vero anche il viceversa ovvero scelta una forma differenziale $\omega$ esiste un solo vettore X che soddisfa
la condizione $<\omega,Y> =\omega_1(X,Y) AA Y in T(T^*(M))$
In sostanza vettori e forma differenziali lineari sono in corrispondenza biunivoca sul fibrato.
Ma occorre definire la forma differenziale associata al vettore X.... da li si possono poi definire le parentesi di Poisson
Spero di essermi spiegato
Provo a risponderti, anche se la tua notazione mi è poco comprensibile.
Siamo su \( (E_2, \omega) \), dove \( \omega = \textrm{d}x \wedge \textrm{d}y\) è la forma simplettica standard.
Quindi, per ogni coppia di campi vettoriali \( A = a_1 \partial _x + a_2 \partial _y \) e \( B = b_1 \partial _x + b_2 \partial _y \), abbiamo \( \omega(A,B) = a_1 b_2 - a_2 b_1 \)
Per ogni funzione \( f \colon E_2 \to \mathbb{R}\), puoi definire il campo vettoriale \( X_f \), come quello che verifica la relazione seguente per ogni campo vettoriale \( Y \):
\[
\omega(X_f,Y) = \langle \nabla f, Y \rangle
\]
Non è difficile verificare che, nel nostro caso,
\[
X_f = \frac{\partial f}{\partial y} \partial _x - \frac{\partial f}{\partial x} \partial _y
\]
A questo punto, se \( f,g \colon E_2 \to \mathbb{R} \), la parentesi di Poisson è definita come \( \{ f, g \} = \omega(X_f, X_g) \). Si fa subito a mostrare che, nel nostro caso,
\[
\{ f,g \} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x}
\]
Siamo su \( (E_2, \omega) \), dove \( \omega = \textrm{d}x \wedge \textrm{d}y\) è la forma simplettica standard.
Quindi, per ogni coppia di campi vettoriali \( A = a_1 \partial _x + a_2 \partial _y \) e \( B = b_1 \partial _x + b_2 \partial _y \), abbiamo \( \omega(A,B) = a_1 b_2 - a_2 b_1 \)
Per ogni funzione \( f \colon E_2 \to \mathbb{R}\), puoi definire il campo vettoriale \( X_f \), come quello che verifica la relazione seguente per ogni campo vettoriale \( Y \):
\[
\omega(X_f,Y) = \langle \nabla f, Y \rangle
\]
Non è difficile verificare che, nel nostro caso,
\[
X_f = \frac{\partial f}{\partial y} \partial _x - \frac{\partial f}{\partial x} \partial _y
\]
A questo punto, se \( f,g \colon E_2 \to \mathbb{R} \), la parentesi di Poisson è definita come \( \{ f, g \} = \omega(X_f, X_g) \). Si fa subito a mostrare che, nel nostro caso,
\[
\{ f,g \} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x}
\]
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