Esercizio sulla somma diretta

[Uomo Grasso]

Ciao a tutti! Propongo un'ultima dimostrazione: sia $L$ un operatore su $V$ tale che $L^2=L$. Mostrare che \[\displaystyle V=\Im L \oplus\ker L \] Osservo che il vettore generico di $V$ può essere scritto come \(\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v}-L(\mathbf{v})+L(\mathbf{v}) \). Il vettore \(\displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{v}-L(\mathbf{v}) \) appartiene al nucleo dell'applicazione: infatti \(\displaystyle L(\mathbf{w})=L(\mathbf{v})-L^2(\mathbf{v})=L(\mathbf{v})-L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \); chiaramente \(\displaystyle L(\mathbf{v})\in \Im L\).

Affinché la somma sia diretta, deve essere \(\displaystyle \ker L \cap \Im L=\{\mathbf{0}\} \); banalmente \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in \Im L, \ker L \). Si vede che i vettori \(\displaystyle \mathbf{x}\in \ker L \cap \Im L \) devono rispettare le condizioni \[\displaystyle \begin{cases} L(\mathbf{x})=\mathbf{0} \\ L(\mathbf{v})=\mathbf{x}\text{ per qualche } \mathbf{v} \end{cases} \] da cui \(\displaystyle L(\mathbf{x})=L(L(\mathbf{v}))=L^2(\mathbf{v})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \): questo dovrebbe concludere la dimostrazione perché se \(\displaystyle \mathbf{v}\in\ker L \) e \(\displaystyle \mathbf{x}=L(\mathbf{v})
\) allora necessariamente \(\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{0} \).

Cosa ne pensate? Funziona il tutto? Grazie in anticipo per le risposte!

[anto_zoolander]

È corretto

Alla fine però ti basta notare che $0=L(x)=L(L(v))=L(v)=x$ quindi $x=0$.

[Uomo Grasso]

Fantastico! Hai proprio ragione, non me n'ero reso conto e ho allungato un po'