Esercizio sulla somma diretta
Salve a tutti, oggi mi sono imbattuta in questo esercizio:
Dati U e V, sottospazi di R4, generati da (vettori colonna)
u1= [2,0,-1,1], u2=[-3,1,3,-1], u3=[5,-1,-4,2]
v1=[3,0,1,2], v2=[3,3,2,1], v3= [4,5,3,1]
1) determinare dim U e dim V (risolto: dimU=2 e dimV=2)
2) verificare che R4 sia la somma diretta di U+V (verificato grazie al teorema delle dimensioni)
3) Dato x(vettore riga)=[3,3,3,-3] si trovino i vettori u ∈ U, v ∈ V tali che x=u+v
Per l'ultimo punto devo sfruttare il teorema secondo cui x può essere espresso solo come somma tra u e v? Se sì, come devo impostarlo? Poi, perché x mi viene dato come vettore riga, mentre gli altri come vettore colonna?
Grazie mille in anticipo!
Dati U e V, sottospazi di R4, generati da (vettori colonna)
u1= [2,0,-1,1], u2=[-3,1,3,-1], u3=[5,-1,-4,2]
v1=[3,0,1,2], v2=[3,3,2,1], v3= [4,5,3,1]
1) determinare dim U e dim V (risolto: dimU=2 e dimV=2)
2) verificare che R4 sia la somma diretta di U+V (verificato grazie al teorema delle dimensioni)
3) Dato x(vettore riga)=[3,3,3,-3] si trovino i vettori u ∈ U, v ∈ V tali che x=u+v
Per l'ultimo punto devo sfruttare il teorema secondo cui x può essere espresso solo come somma tra u e v? Se sì, come devo impostarlo? Poi, perché x mi viene dato come vettore riga, mentre gli altri come vettore colonna?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
2) per Teorema delle dimensioni intendi la formula di Grassman? In pratica: hai calcolato cos'è $U\cap V$ o no?
3) che $x$ ti venga dato come riga non è un problema. Quello che devi fare è risolvere un sistema lineare per capire come si ottenga $x$ dalle bai di $U$ e $V$. Al punto 1 hai fatto vedere che essi hanno dimensione 2: questo implica che i vettori forniti possono essere scelti in modo da avere una base per $U$ e una per $V$ che, dal momento la somma è diretta, presi insieme formano una base per $RR^4$.
3) che $x$ ti venga dato come riga non è un problema. Quello che devi fare è risolvere un sistema lineare per capire come si ottenga $x$ dalle bai di $U$ e $V$. Al punto 1 hai fatto vedere che essi hanno dimensione 2: questo implica che i vettori forniti possono essere scelti in modo da avere una base per $U$ e una per $V$ che, dal momento la somma è diretta, presi insieme formano una base per $RR^4$.
2) Esatto, ho fatto dimR4=dimU+dimT e che dim(U+V)=dimU+dimV-dim(UintersecatoV)
3) Ok, quindi imposto il sistema usando i primi 2 (visto che dimU e dimV sono entrambe 2) vettori indipendenti di U e V per trovare la combinazione lineare?
Non so se sono stata chiara, ho un po' le idee confuse
3) Ok, quindi imposto il sistema usando i primi 2 (visto che dimU e dimV sono entrambe 2) vettori indipendenti di U e V per trovare la combinazione lineare?
Non so se sono stata chiara, ho un po' le idee confuse
Sì, esatto: scegli i primi due vettori in entrambi i casi, scrivi una loro combinazione lineare con coefficienti $x,y,z,t$ incogniti e li calcoli in modo che venga fuori il vettore richiesto.
Quindi il sistema da risolvere è :
2x-3y+3z+3t=0
y+3t=0
-x+3y+z+2t=0
x-y+2z+t=0
Giusto?
Poi nell'ultima eq pongo t=1?
2x-3y+3z+3t=0
y+3t=0
-x+3y+z+2t=0
x-y+2z+t=0
Giusto?
Poi nell'ultima eq pongo t=1?
Dalla 1 eq trovo x=-t - 3/2z
Dalla 2 y=-3t
Dalla 3z=2t
e sostituendo tutto nell'ultima trovo -4t=0
Significa che t=0 no?
Se è così è tutto il vettore 0?
Mi sa che ho sbagliato qualcosa ._.
Dalla 2 y=-3t
Dalla 3z=2t
e sostituendo tutto nell'ultima trovo -4t=0
Significa che t=0 no?
Se è così è tutto il vettore 0?
Mi sa che ho sbagliato qualcosa ._.
Comunque non ho capito una cosa.. Il problema mi chiede di trovare due vettori (uno di U e uno di V) in modo che la loro somma dia x.. Come faccio a ricavare 2 vettori da un sistema? o.O
Poi, invece di uguagliare a 0 le equazioni, non dovrei semmai uguagliarle ai valori di x?
Poi, invece di uguagliare a 0 le equazioni, non dovrei semmai uguagliarle ai valori di x?
Diciamo che scegliamo $u_1,\ u_2$ e $v_1,\ v_2$ come elementi. Il sistema è
$2x-3y+3z+3t=3,\quad y+3t=3,\quad -x+3y+z+2t=3,\quad x-y+2z+t=-3$
Una volta trovata la soluzione, i vettori cercati sono:
$u=xU_1+yu_2,\qquad v=zv_1+tv_2$
$2x-3y+3z+3t=3,\quad y+3t=3,\quad -x+3y+z+2t=3,\quad x-y+2z+t=-3$
Una volta trovata la soluzione, i vettori cercati sono:
$u=xU_1+yu_2,\qquad v=zv_1+tv_2$
Ho capito!! Perfetto, grazie mille davvero!!! Sei stato utilissimo!!
Prego, è stato un piacere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo