Esercizio sulla somma di sottospazi.

[Pasquale 90]

Buonasera, ho difficolta nel provare la seguente relazione $V+W=RR^3$, dove

$V=<(1,0,1)^T,(-1,2-1)^T>,$

$W={(x,y,z)^T in RR^3|x+z=y+2z=0}.$

ho determinato la $dim V, dimW, dim(VcapW)$ rispettivamente $2, 1, 0$ quindi, dalla formula di Grassmann mi ricavo la $dim(V+W)=2+1-0=3.$
Fatta questa osservazione, per provare la suddetta relazione mi ricordo che $dim(V+W)=dimRR^3 to V+W=RR^3$ in tal caso avrei terminato l'esercizio oppure, devo verificare la doppia inclusione ?

Buona serata.

[hydro1]

Quanti sottospazi di $\mathbb R^3$ conosci che hanno dimensione 3?

[Pasquale 90]

Ovviamente uno, cioè $RR^3$, ho capito quello che mi vuoi dire, ma la prof. l'ha consegnato per esercizio quindi, devo provarlo analiticamente.

[hydro1]

Cosa vuol dire “provare analiticamente”?

[Pasquale 90]

Vuol dire che devo dimostrare la relazione.
Nel messaggio iniziale ho scritto la seguente relazione

$dim(V+W)=dimRR^3=3$ allora $V+W=RR^3$

questo basta ? oppure devo procedere diversamente ?

[solaàl]

Questo basta: un sottospazio \(U\) di \(V\) ha dimensione uguale a quella di V se e solo se è V.