Esercizio sulla sfera
ciao a tutti ho un problema riguardante la sfera che non riesco a risolvere.
il testo dice che " determinare centro e raggio della sfera S di eq. x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z+13=0 e verificare che il piano pigreco : x +y+z+1=0 è secante alla sfera S. calcolare inoltre il centro e raggio della circonferenza C intersezione della sfera S e piano pigreco"
io sono riuscito a trovare solamente il centro e raggio della sfera mentre per gli altri due punti non so proprio come approcciare.. mi potete dare qualche consiglio ? grazie
il testo dice che " determinare centro e raggio della sfera S di eq. x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z+13=0 e verificare che il piano pigreco : x +y+z+1=0 è secante alla sfera S. calcolare inoltre il centro e raggio della circonferenza C intersezione della sfera S e piano pigreco"
io sono riuscito a trovare solamente il centro e raggio della sfera mentre per gli altri due punti non so proprio come approcciare.. mi potete dare qualche consiglio ? grazie
Risposte
$pi " è secante a " S$ se la distanza (*) del centro di $S$ da $pi$ è minore del raggio.
poi pensa al grafico: viene a formarsi un triangolo rettangolo dove l'ipotenusa è il raggio di $S$ e i cateti sono uno il raggio della circonferenza $C$ e l'altro cateto è il segmento che unisce i due centri citati, cioè la distanza (*) punto-piano trovata in precedenza.
poi pensa al grafico: viene a formarsi un triangolo rettangolo dove l'ipotenusa è il raggio di $S$ e i cateti sono uno il raggio della circonferenza $C$ e l'altro cateto è il segmento che unisce i due centri citati, cioè la distanza (*) punto-piano trovata in precedenza.
non ho molto capito ciò che vuoi dire.. la condizione matematica come diventerebbe?
hai detto di aver trovato centro e raggio.
dunque, se il centro è $O(x_0,y_0,z_0)$, raggio$=R$, distanza $d(O,pi)$, con $pi: x +y+z+1=0$ con la formula della distanza punto-piano
$d(O,pi)=(|x_0 +y_0+z_0+1|)/(sqrt(1^2+1^2+1^2))$
il piano è secante se $d(O,pi)
EDIT: c'era da trovare anche il centro O' della circonferenza, ma è il punto d'intersezione tra $pi$ e la retta perpendicolare a $pi$ passante per $O$. non serve trovare le coordinate di P (il discorso che ho fatto era solo per visualizzare il triangolo rettangolo).
Naturalmente potresti anche mettere a sistema la sfera con il piano, ma questo in teoria è banale, in pratica penso sia molto più laborioso.
dunque, se il centro è $O(x_0,y_0,z_0)$, raggio$=R$, distanza $d(O,pi)$, con $pi: x +y+z+1=0$ con la formula della distanza punto-piano
$d(O,pi)=(|x_0 +y_0+z_0+1|)/(sqrt(1^2+1^2+1^2))$
il piano è secante se $d(O,pi)
EDIT: c'era da trovare anche il centro O' della circonferenza, ma è il punto d'intersezione tra $pi$ e la retta perpendicolare a $pi$ passante per $O$. non serve trovare le coordinate di P (il discorso che ho fatto era solo per visualizzare il triangolo rettangolo).
Naturalmente potresti anche mettere a sistema la sfera con il piano, ma questo in teoria è banale, in pratica penso sia molto più laborioso.
grazie mille per la risposta, anche se è un pò difficile il discorso..
rifacendo i conti non riesco a capire una cosa sul raggio..
per trovarlo ho usato la formula $ r = root()((Xo)^2+(Yo)^2+(Zo)^2-C ) $ che come risultato mi viene radice di 28..
invece sul libro di teoria mi dice che la formula per calcolare il raggio è $ r = root()((a)^2/4+(b)^2/4+(c)^2/4-d ) $ e usando questa mi viene che il raggio è 1
quale devo usare ?
per trovarlo ho usato la formula $ r = root()((Xo)^2+(Yo)^2+(Zo)^2-C ) $ che come risultato mi viene radice di 28..
invece sul libro di teoria mi dice che la formula per calcolare il raggio è $ r = root()((a)^2/4+(b)^2/4+(c)^2/4-d ) $ e usando questa mi viene che il raggio è 1
quale devo usare ?
ho risolto perchè era un problema di segno.. quindi da quanto ho capito per trovare la circonferenza C basta che metto a sistema la sfera ed il piano giusto ? e per risolverlo potrei usare tipo gauss o altro ?
dopo aver risolto il sistema ho trovato l'equazione della circonferenza che mi viene $ y^2+z^2+yz+5y+8=0 $ che però non va bene in quanto l'eq. della circonferenza non ha il termine misto.. come posso fare ?
io ho avuto una giornata "occupatissima", per cui sto vedendo adesso tutti questi messaggi.
ho provato a fare qualche calcolo per poter confermare o smentire i tuoi risultati.
come potevo immaginare, il sistema è abbastanza "ingarbugliato", e l'ho accantonato, perché non credo sia il modo migliore per affrontare il problema.
siccome ho ottenuto $R=1$ in un modo "originale", te lo propongo:
il centro è $(1;-3;2)$; cerco le intersezioni della sfera con la retta individuata dai piani $x=1$ e $z=2$ ottenendo l'equazione in y: $y^2+6y+8=0$ che dà come soluzioni $y_1= -4; y_2= -2$ per cui il raggio è dato da $|-4+3|=1=|-2+3|$, perché rappresenta la distanza tra il centro e uno dei due punti trovati che hanno stessa ascissa e stessa quota del centro (e quindi la distanza è la differenza in valore assoluto delle due ordinate): i due punti sono $(1;-4;2)" e "(1;-2;2)$.
non so che cosa hai usato nella formula che ti dà radice di 28..., mentre l'altra mi pare esatta...
ho provato a fare qualche calcolo per poter confermare o smentire i tuoi risultati.
come potevo immaginare, il sistema è abbastanza "ingarbugliato", e l'ho accantonato, perché non credo sia il modo migliore per affrontare il problema.
siccome ho ottenuto $R=1$ in un modo "originale", te lo propongo:
il centro è $(1;-3;2)$; cerco le intersezioni della sfera con la retta individuata dai piani $x=1$ e $z=2$ ottenendo l'equazione in y: $y^2+6y+8=0$ che dà come soluzioni $y_1= -4; y_2= -2$ per cui il raggio è dato da $|-4+3|=1=|-2+3|$, perché rappresenta la distanza tra il centro e uno dei due punti trovati che hanno stessa ascissa e stessa quota del centro (e quindi la distanza è la differenza in valore assoluto delle due ordinate): i due punti sono $(1;-4;2)" e "(1;-2;2)$.
non so che cosa hai usato nella formula che ti dà radice di 28..., mentre l'altra mi pare esatta...
quindi il procedimento che hai fatto te serve essenzialmente per calcolare l'eq. della circonferenza ?
no, quello che ho fatto "adesso" è soltanto un altro modo per arrivare al raggio della sfera, visto che tu hai detto di aver trovato due valori diversi: era per confermare che il raggio della sfera è $R=1$.
ti dicevo che, visto che il problema in qualche modo ti dà una traccia chiedendo prima di verificare che il piano $pi$ è secante, non è il caso di ricorrere al sistema sfera-piano per trovare direttamente l'equazione della circonferenza, anche perché è piuttosto elaborato.
una volta trovato centro $O(1;-3;2)$ e raggio $R=1$, puoi usare la formula che ti ho scritto alcuni messaggi fa per trovare la distanza $d(O;pi)=|1-3+2+1|/(sqrt3)=1/(sqrt3)=sqrt3/3$, e risulta $d(O;pi)
OK?
ti dicevo che, visto che il problema in qualche modo ti dà una traccia chiedendo prima di verificare che il piano $pi$ è secante, non è il caso di ricorrere al sistema sfera-piano per trovare direttamente l'equazione della circonferenza, anche perché è piuttosto elaborato.
una volta trovato centro $O(1;-3;2)$ e raggio $R=1$, puoi usare la formula che ti ho scritto alcuni messaggi fa per trovare la distanza $d(O;pi)=|1-3+2+1|/(sqrt3)=1/(sqrt3)=sqrt3/3$, e risulta $d(O;pi)
OK?
grazie mille ora ho veramente capito
prego!
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