Esercizio sulla retta
Salve ragazzi, svolgendo esercizi mi sono bloccato su questo esercizio:
Si scriva l'equazione cartesiana della retta r per il punto A(1,0,2) parallela alla retta congiungente i punti B(1,2,-3) e C(0,4,-1).
-Si scriva l'equazione del piano T per l'origine che contiene r.
Si provi che la retta s per i punti di coordinate (-3,1-0) e (0,2,4) e la retta r sono incidenti e si determinino le coordinate del punto di intersezione.
Come va svolto?! Grazie mille!
Si scriva l'equazione cartesiana della retta r per il punto A(1,0,2) parallela alla retta congiungente i punti B(1,2,-3) e C(0,4,-1).
-Si scriva l'equazione del piano T per l'origine che contiene r.
Si provi che la retta s per i punti di coordinate (-3,1-0) e (0,2,4) e la retta r sono incidenti e si determinino le coordinate del punto di intersezione.
Come va svolto?! Grazie mille!
Risposte
Della retta congiungente i punti $B$ e $A$ trovi il vettore direttore "sottraendo le coordinate" di $B$ e $A$.
Quindi ottieni $v=(1,2-4,-3+1)=(1,-2,-2)$. Questo è anche il vettore direttore della retta $r$, che è parallela (anche se hai scritto "parallelo"..).
Puoi imporre il passaggio di $r$ per $A$ scrivendo una rappresentazione parametrica così:
$\{(x= 1+t),(y = -2t),(z = 2-2t):}$.
Per avere un piano che contenga $r$ e passi per l'origine puoi provare a smanettare con le equazioni della rappresentazione parametrica.. Infatti puoi notare che se moltiplichi per $-2$ la prima equazione e per $-2$ la seconda, ottieni
$\{(-2x= -2-2t),(-2y = 4t),(z = 2-2t):}$.
Questo lo facciamo perché notiamo che così se sommiamo tutte e tre le equazioni il termine noto sparisce! Infatti ti resta $-2x-2y+z=0$. Questo è un piano che contiene $r$ e passa per l'origine!
Ora, per determinare $s$, di nuovo, puoi scriverne direttamente il vettore direttore sottraendo e ottenendo
$u=(0+3, 2-1, 4-0)=(3,1,4)$.
Imponendo il passaggio per uno dei due punti, ad esempio $(0,2,4)$, ottieni una rappresentazione parametrica di $s$,
$\{(x= 3a),(y = 2+a),(z = 4+4a):}$.
E ora per trovare l'intersezione puoi trovare le soluzioni del sistema
$\{(1+t= 3a),(-2t = 2+a),(2-2t = 4+4a):}$.
Le soluzioni sono $t=-1$ e $a=0$, e infatti vedi che sostituendo questi valori nelle rappresentazioni parametriche delle rette ottieni lo stesso punto, che è $(0,2,4)$, il punto d'intersezione.
Quindi ottieni $v=(1,2-4,-3+1)=(1,-2,-2)$. Questo è anche il vettore direttore della retta $r$, che è parallela (anche se hai scritto "parallelo"..).
Puoi imporre il passaggio di $r$ per $A$ scrivendo una rappresentazione parametrica così:
$\{(x= 1+t),(y = -2t),(z = 2-2t):}$.
Per avere un piano che contenga $r$ e passi per l'origine puoi provare a smanettare con le equazioni della rappresentazione parametrica.. Infatti puoi notare che se moltiplichi per $-2$ la prima equazione e per $-2$ la seconda, ottieni
$\{(-2x= -2-2t),(-2y = 4t),(z = 2-2t):}$.
Questo lo facciamo perché notiamo che così se sommiamo tutte e tre le equazioni il termine noto sparisce! Infatti ti resta $-2x-2y+z=0$. Questo è un piano che contiene $r$ e passa per l'origine!
Ora, per determinare $s$, di nuovo, puoi scriverne direttamente il vettore direttore sottraendo e ottenendo
$u=(0+3, 2-1, 4-0)=(3,1,4)$.
Imponendo il passaggio per uno dei due punti, ad esempio $(0,2,4)$, ottieni una rappresentazione parametrica di $s$,
$\{(x= 3a),(y = 2+a),(z = 4+4a):}$.
E ora per trovare l'intersezione puoi trovare le soluzioni del sistema
$\{(1+t= 3a),(-2t = 2+a),(2-2t = 4+4a):}$.
Le soluzioni sono $t=-1$ e $a=0$, e infatti vedi che sostituendo questi valori nelle rappresentazioni parametriche delle rette ottieni lo stesso punto, che è $(0,2,4)$, il punto d'intersezione.
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