Esercizio sulla proiezione ortogonale

[matemos]

Mi trovo con questo problema:
Sono il $R^4$ munito di prodotto scalare standard

$W={(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_1+x_2=x_2+x_3-x_4}$
$Z=Span(1,-1,1,0),(3,0,1,3),(2,1,0,3)$

Ho già trovato per vari punti del testo dell'esercizio
-Base di $W=Span(-1,1,0,1),(0,0,1,1)$
-Base di $Z=Span(1,-1,1,0),(3,0,1,3)$

Mi son bloccato nell'ultima richiesta:
Sia $p:R^4->R^4$ la proiezione ortogonale su W
dato il vettore $a=(1,0,0,0)$
1) Calcolare $p(a)$ [e l'ho svolto corretto]
2)Determinare $p^(-1)(Z)$ Dove $Z=p(a)$

Non riesco a capire proprio come possa impostare il secondo punto.
Fiducioso in un generoso aiuto auguro una buona serata ragazzi!

[killing_buddha]

Se $A_p$ è la matrice di $p$ in una qualche base (molto meglio una base di $W$ completata a una dell'ortogonale di $W$, cosicché $A_p$ è la matrice \(\left( \begin{smallmatrix} {\bf 1}_{\dim W} & 0 \\ 0 & 0_{\dim W^\perp} \end{smallmatrix} \right)\)), devi risolvere il sistema $A_px=a$, dove hai scritto $a$ nella nuova base.

[matemos]

Mi pare di aver capito il suggerimento, però dimmi tu se sbaglio: $A_p$ è la matrice associata all'applicazione succitata "proiezione"? Giusto?
Il problema è che per crearla avrei bisogno che mi definiscano l'applicazione in qualche modo, o mi diano qualche valore di qualche vettore.
Il testo dice solo che si tratta di "proiezione ortogonale" e dato il vettore a=(1,0,0,0).
Non capisco come "costruire" la matrice associata