Esercizio sulla parabola.
Trovare l'equazione della parabola tangente nell'origine alla circonferenza $x^2+(y-1)^2=1$ che abbia come diametro la
retta $y=x+1$ e passi per $P(3,2)$.
dunque considero l'eq. della conica completa(quella a 10 coefficenti per inernderci)... poichè la circonferenza e la parabola
sono tangenti nell'origine, tale punto apparterà ad entrambe, dunque applicando il passaggio per (0,0) ottengo $a_33=0$
essendo una parabola $A_33=0$ dunque $a_11*a22-(a_12)^2=0$
$A=$$((a_11,a_12,a_13),(a_12,a_22,a_23),(a_13,a_23,0))$
dalla definizione di diametro ottengo:
$x(a_11+ha_12)+y(a_12+ha_22)+(a_13+a_23)$
imponendo che la retta trovata sia uguale alla retta $ y-x-1$ ottengo tre relazioni.
poi metto a sistema l'eq generale della conica con la circonferenza,impongo delta=0 ma mi viene una roba mostruosa... impossibile.. sbaglio da qualche parte...
retta $y=x+1$ e passi per $P(3,2)$.
dunque considero l'eq. della conica completa(quella a 10 coefficenti per inernderci)... poichè la circonferenza e la parabola
sono tangenti nell'origine, tale punto apparterà ad entrambe, dunque applicando il passaggio per (0,0) ottengo $a_33=0$
essendo una parabola $A_33=0$ dunque $a_11*a22-(a_12)^2=0$
$A=$$((a_11,a_12,a_13),(a_12,a_22,a_23),(a_13,a_23,0))$
dalla definizione di diametro ottengo:
$x(a_11+ha_12)+y(a_12+ha_22)+(a_13+a_23)$
imponendo che la retta trovata sia uguale alla retta $ y-x-1$ ottengo tre relazioni.
poi metto a sistema l'eq generale della conica con la circonferenza,impongo delta=0 ma mi viene una roba mostruosa... impossibile.. sbaglio da qualche parte...
Risposte
Prova a determinare la tangente alla circonferenza nell'origine, ed imponi che sia uguale a quella della parabola nello stesso punto.
O magari con un fascio osculatore per $O$ e il punto $A_infty$ centro della conica. Imponendo poi il passaggio per $P$ determini la retta. Ma di questa soluzione non sono certo, prova un po' tu.
O magari con un fascio osculatore per $O$ e il punto $A_infty$ centro della conica. Imponendo poi il passaggio per $P$ determini la retta. Ma di questa soluzione non sono certo, prova un po' tu.
la tangente alla parabola in quel punto cm la trovo?
la tangente alla circonferenza mi risulta l'asse x
la tangente alla circonferenza mi risulta l'asse x
No, tu devi imporre che la tangente in quel punto alla parabola sia uguale a quella della circonferenza.
In ogni caso, se intendi come si calcola la tangente di un punto che appartiene alla conica, ti basta calcolare la polare in quel punto.
In ogni caso, se intendi come si calcola la tangente di un punto che appartiene alla conica, ti basta calcolare la polare in quel punto.
Se una curva (algebrica) passa per l'origine, l'equazione della tangente ad essa in tale punto si ottiene anche eguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado dell'equazione della curva stessa. Nel nostro caso l'equazione della circonferenza è:
\(\displaystyle x^2+y^2-2y=0 \) e quindi la tangente in O è \(\displaystyle -2y=0 \) da cui \(\displaystyle y=0 \)
Questa è anche l'equazione della tangente in O alla parabola cercata. Il centro (improprio) della parabola è il punto improprio del diametro dato, ovvero il punto \(\displaystyle C_{\infty} (1,1,0) \). In tale punto la parabola è tangente alla retta impropria del suo piano. Ora hai i punti base del fascio di parabole e sono i punti \(\displaystyle O \text{ e }C_{\infty} \) , ciascuno contato due volte. Pertanto l'equazione del fascio sarà :
\(\displaystyle \lambda\cdot OO\cdot C_{\infty}C_{\infty}+\mu\cdot (OC_{\infty})^2=0 \)
dove \(\displaystyle OO, C_{\infty}C_{\infty}, OC_{\infty}\) sono rispettivamente: la tangente in O, la retta impropria del piano, la retta congiungente i punti \(\displaystyle O \text{ e }C_{\infty} \), rette tutte conosciute .
Non ti resta che passare ai calcoli ed imporre il passaggio per \(\displaystyle P(3,2)\) .
\(\displaystyle x^2+y^2-2y=0 \) e quindi la tangente in O è \(\displaystyle -2y=0 \) da cui \(\displaystyle y=0 \)
Questa è anche l'equazione della tangente in O alla parabola cercata. Il centro (improprio) della parabola è il punto improprio del diametro dato, ovvero il punto \(\displaystyle C_{\infty} (1,1,0) \). In tale punto la parabola è tangente alla retta impropria del suo piano. Ora hai i punti base del fascio di parabole e sono i punti \(\displaystyle O \text{ e }C_{\infty} \) , ciascuno contato due volte. Pertanto l'equazione del fascio sarà :
\(\displaystyle \lambda\cdot OO\cdot C_{\infty}C_{\infty}+\mu\cdot (OC_{\infty})^2=0 \)
dove \(\displaystyle OO, C_{\infty}C_{\infty}, OC_{\infty}\) sono rispettivamente: la tangente in O, la retta impropria del piano, la retta congiungente i punti \(\displaystyle O \text{ e }C_{\infty} \), rette tutte conosciute .
Non ti resta che passare ai calcoli ed imporre il passaggio per \(\displaystyle P(3,2)\) .
come calcolo $C_00C_00$ ed $OC_00$
Se \(\displaystyle x,y,t \) sono le coordinate nel piano proiettivo allora la retta \(\displaystyle C_{\infty}C_{\infty} \) è semplicemente la retta impropria del piano di equazione \(\displaystyle t=0 \)
L'equazione della retta congiungente i punti \(\displaystyle O(0,0,1),C_{\infty}(1,1,0)\) è :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x&y&t\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} =0\)
ovvero :
\(\displaystyle x-y=0 \)
Pertanto l'equazione del fascio di parabole è :
(1) \(\displaystyle \lambda y t +\mu(x-y)^2=0\)
Imponendo il passaggio per \(\displaystyle P(3,2,1) \) hai la relazione :
\(\displaystyle 2\lambda+\mu=0 \) da cui trai \(\displaystyle \mu=-2\lambda \)
Sostituendo nella (1) hai la richiesta parabola :
\(\displaystyle 2(x-y)^2-y=0 \)
Tutte cose abbastanza normali
L'equazione della retta congiungente i punti \(\displaystyle O(0,0,1),C_{\infty}(1,1,0)\) è :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x&y&t\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} =0\)
ovvero :
\(\displaystyle x-y=0 \)
Pertanto l'equazione del fascio di parabole è :
(1) \(\displaystyle \lambda y t +\mu(x-y)^2=0\)
Imponendo il passaggio per \(\displaystyle P(3,2,1) \) hai la relazione :
\(\displaystyle 2\lambda+\mu=0 \) da cui trai \(\displaystyle \mu=-2\lambda \)
Sostituendo nella (1) hai la richiesta parabola :
\(\displaystyle 2(x-y)^2-y=0 \)
Tutte cose abbastanza normali
tutte queste cose sul libro non ci sono, sti ragionamenti su rette di piani poiettivi ecc...
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