Esercizio sulla diagonalizzazione di un Endomorfismo
Salve, domani ho un esame di Geometria 1e2 e stavo facendo qualche esercizio. Vi propongo questo per vedere se ho sbagliato il punto b
: Si considerino i sottospazi V1 e V2 di R4
così definiti:
V1 ={ f(x; y; z; t) t.c. y = t; 2y + t = z } ; V2 = <(1;1;0;1);(0;1;0;2)>:
a) Mostrare che R4 = V1+V2 (somma diretta).
b) Posto, per ogni v appartenente ad R4
:
v = v1 + v2 con v1 elemento di V1; v2 elemento di V2;
si consideri l'endomorsmo f : R4---> R4
tale che, Per ogni v appartenente a R4
f(v) := v1 + 3v2:
Stabilire se f e diagonalizzabile e se e ingettivo.
Per stabilire se è diagonalizzabile stavo cercando di ricavarmi una matrice associata alla base canonica di R4, ma mi usciva difficoltoso trovarla per come è definita la funzione. Allora ho pensato che prese le info dal punto a) ho preso come base i generatori di V1 e V2, la cui unione mi dà una base di R4, e calcolando la matrice associata mi esce una matrice colonna con tutti 1.. Sbaglio qualcosa?
: Si considerino i sottospazi V1 e V2 di R4
così definiti:
V1 ={ f(x; y; z; t) t.c. y = t; 2y + t = z } ; V2 = <(1;1;0;1);(0;1;0;2)>:
a) Mostrare che R4 = V1+V2 (somma diretta).
b) Posto, per ogni v appartenente ad R4
:
v = v1 + v2 con v1 elemento di V1; v2 elemento di V2;
si consideri l'endomorsmo f : R4---> R4
tale che, Per ogni v appartenente a R4
f(v) := v1 + 3v2:
Stabilire se f e diagonalizzabile e se e ingettivo.
Per stabilire se è diagonalizzabile stavo cercando di ricavarmi una matrice associata alla base canonica di R4, ma mi usciva difficoltoso trovarla per come è definita la funzione. Allora ho pensato che prese le info dal punto a) ho preso come base i generatori di V1 e V2, la cui unione mi dà una base di R4, e calcolando la matrice associata mi esce una matrice colonna con tutti 1.. Sbaglio qualcosa?
Risposte
Mi è venuta un'idea: Considero come base l'unione dei generatori di V1 e V2, e calcolando f nei 4 vettori mi esce che i due generatori di V1 sono autovettori dell'autovalore -1, mentre i generatori di V2 autovettori relativi all'autovalore 3. Quindi per ogni combinazione lineare dei due generatori ( di V1 o di V2), abbiamo un autovettore relativo all'autovalore di partenza. Da questo deduciamo che V1 è l'autospazio relativo all'autovalore -1 e V2 l'autospazio relativo a 3, a confermare ciò abbiamo che
V= V1 + V2 (somma diretta), e quindi non ci sono altri autovalori e quindi f è diagonalizzabile per il secondo criterio di diagonalizazione
V= V1 + V2 (somma diretta), e quindi non ci sono altri autovalori e quindi f è diagonalizzabile per il secondo criterio di diagonalizazione