Esercizio sulla diagonalizzazione

[FrAnZkAfKa]

Ciao, non conoscendo quali sono i risultati, vorrei sapere se questo esercizio l' ho svolto correttamente.
Sicuramente ho fatto qualche cavolata inoltre non ho saputo fare certe cose..
Ecco la traccia:
Al variare del parametro reale a, sia f: $ R^2 $ -> $ R^2 $ l' endomorfismo definito ponendo
$ f(x,y)=(ax-3y;-3x+ay) $
e si consideri l' endomorfismo composto $ g=f o f = f^2 $

i) Per ogni valore del parametro a si determini la matrice A associata all' endomorfismo g rispetto alla base standard, si stabilisca per quali valori del parametro a l' endomorfismo g è un isomorfismo e, posto a=0 si calcoli la controimmagine $ g^-1 (3,7) $

Allora l' ho svolto in questo modo:
$ g=f o f = f(f(x,y)) = f(ax-3y ; -3x+ay) = (a(ax-3y)-3(-3x+ay); -3(ax-3y)+a(-3x+ay)) =(x(a^2+9)-6ay; -6ax+y(a^2+9)) $
La matrice associata rispetto alla base canonica è A= $ [ ( a^2+9 , -6a ),( -6a , a^2+9 ) ] $

E' un isomorfismo se il rango è max e cioè il determinante è diverso da 0.
$ (a^s+9)^2-(-6)^2=0 $
$ a^4-18a^2+81=0 $
$ (a^2-9)^2 =0 $
$ a=+-3 $ Per a diverso da $ +- 3 $ è un isomorfismo

Posto a = 0
$ [ ( 9 , 0 ),( 0 , 9 ) ] $
$ g^-1 (3,7) -> x=1/3; y=7/9 $

ii)Si studi la diagonalizzabilità di g, per ogni valore del parametro a.

A= $ [ ( a^2+9-lambda , -6a ),( -6a , a^2+9-lambda ) ] $

$ (a^2+9-lambda)^2-(-6a)^2=0 $

$ lambda^2+lambda(-18-2a^2)+(a^2-9)^2=0 $

$ lambda=9+- sqrt[(9+a^2)^2-(a^2-9)^2] $

$ lambda1 = a^2+6a+9 ; lambda2= a^2-6a+9 $

Adesso ho che $ lambda1=lambda2 $ per a = 0
Però qui non capisco perché se a= 0 ho una matrice nulla e quindi non so cosa significhi.
Se a diverso da 0 ho per $ lambda1 $

A= $ [ ( -6a , -6a ),( -6a , -6a ) ] $
molteplicità algebrica = molteplicità geometrica = 1 Quindi è diagonalizzabile e


$ { ( -6ax-6ay=0 ),( y=h ):} $

Quindi posso prendere $ (-h;h) $

Per $ lambda2$

A= $ [ ( 6a , -6a ),( -6a , 6a ) ] $

Quindi molteplicità algebrica=geometrica=1 è diagonalizzabile
$ { ( x-y=0 ),( y=h ):} $
Posso prendere $ (h,h) $


iii) Posto a=1 si determinino gli autovalori e la matrice diagonalizzante.

A= $ [ ( 10-lambda , -6 ),( -6 , 10-lambda ) ] $

$ lambda1=16 lambda2=4 $

Per $ lambda1=16 $

$ [ ( -6 , -6 ),( -6 , -6 ) ] $
Stesso discorso di prima

Per $ lambda2=4 $

A= $ [ ( 6 , -6 ),( -6 , 6 ) ] $
Stessa cosa di prima.
Matrice diagonalizzante?
Autovalori?

[giampazero]

Punto 1

bastava risolvere il sistema $A((x),(y))=(3,7)$

Punto 2

Se una matrice e' simmetrica (ovvero $A^T= A$) allora e' diagonalizzabile su $RR$
Nota... la matrice e' simmetrica per ogni valore di a

Punto 3

la matrice diventa $((6,-6),(-6,6))$

e calcoli quindi gli autovalori li trovi con $|(6-t,-6),(-6,6-t)|=0$

quindi $(6-t)^2 -36=0$ ovvero $t^2 +36 -12t -36=0$

e quind $t(t-12)=0$ e quindi gli autovalori sono $lamdba=0, lambda=12$

Siccome i due autovalori sono distinti con moltiplicità algebrica 1 allora la matrice e' diagonalizzabile

Ora per determinare la matrice diagonalizzante $P$ tale che $P^(-1)AP=D$

.......

la matrice P sarà formati dagli autospazi che verranno usati come colonne...
determiniamo gli autospazi risolvendo $(A-lambdaI)X=0$ per ogni $lambda$

[FrAnZkAfKa]

Innanzitutto grazie per la risposta.

Per quanto riguarda il punto 1 non ho capito se ho sbagliato oppure no. Alla fine penso che quel modo di scrivere che hai usato consista nel fare quello che poi sono andato a fare, anche perché facendo g(1/3;7/9) mi trovo 3,7

Per il punto 2 io ho fatto tutto un procedimento "inutile" in questo caso, però vorrei sapere se il procedimento è quello da fare quando la matrice non è simmetrica; cioè vorrei sapere se nel caso generale va fatto così.

Per il terzo punto invece non ho proprio capito perché per trovare la matrice (6,-6,-6,6) ho già utilizzato dei lambda, dovrei ripetere il procedimento???