Esercizio sulla continuità di una funzione tra spazi topologici
Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo problema:
Siano $X$ e $Y$ spazi topologici, $E,F \subset X$ tali che $X=E \cup F$. Siano $f:E \rightarrow Y, g:F \rightarrow Y$ due applicazioni continue relativamente alle topologie indotte e che coincidono sui punti di $E \cap F$.
Sia $h:X \rightarrow Y$ definita da $h(x)=f(x)$ se $x \in E$ e $h(x)=g(x)$ se $x \in F$ un'applicazione ben definita su tutto $X$
Provare che
se $E$ e $F$ sono aperti allora $h$ è continua
Per dimostrare che $h$ è continua devo provare che dato un qualunque aperto $H$ di $Y$ si ha che $h^-1(H)$ è un aperto di $X$.
Sia $H \in \tau_y$ allora poichè $f$ è continua $\exists G \in \tau_E$ e $G \notin \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=G$
oppure poichè $g$ è continua $\exists F \in \tau_F$ e $F \notin \tau_E$ tale che $h^-1(H)=g^-1(H)=F$
o ancora $\exists G' \in \tau_E, \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=g^-1(H)=G'$
$G \in \tau_E$ topologia indotta allora $\exists U \in \tau_X$ tale che $G=U \cap E$ ma E è un aperto per ipotesi e dunque $G$ è aperto in X perchè intersezione di due aperti.
Stesso discorso se $h^-1(H)=F$. dunque $h$ è continua.
Qualcuno può dirmi se è giusta o sbagliata?
Grazie
Siano $X$ e $Y$ spazi topologici, $E,F \subset X$ tali che $X=E \cup F$. Siano $f:E \rightarrow Y, g:F \rightarrow Y$ due applicazioni continue relativamente alle topologie indotte e che coincidono sui punti di $E \cap F$.
Sia $h:X \rightarrow Y$ definita da $h(x)=f(x)$ se $x \in E$ e $h(x)=g(x)$ se $x \in F$ un'applicazione ben definita su tutto $X$
Provare che
se $E$ e $F$ sono aperti allora $h$ è continua
Per dimostrare che $h$ è continua devo provare che dato un qualunque aperto $H$ di $Y$ si ha che $h^-1(H)$ è un aperto di $X$.
Sia $H \in \tau_y$ allora poichè $f$ è continua $\exists G \in \tau_E$ e $G \notin \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=G$
oppure poichè $g$ è continua $\exists F \in \tau_F$ e $F \notin \tau_E$ tale che $h^-1(H)=g^-1(H)=F$
o ancora $\exists G' \in \tau_E, \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=g^-1(H)=G'$
$G \in \tau_E$ topologia indotta allora $\exists U \in \tau_X$ tale che $G=U \cap E$ ma E è un aperto per ipotesi e dunque $G$ è aperto in X perchè intersezione di due aperti.
Stesso discorso se $h^-1(H)=F$. dunque $h$ è continua.
Qualcuno può dirmi se è giusta o sbagliata?
Grazie
Risposte
"NRyoma":
Sia $H \in \tau_y$ allora poichè $f$ è continua $\exists G \in \tau_E$ e $G \notin \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=G$
oppure poichè $g$ è continua $\exists F \in \tau_F$ e $F \notin \tau_E$ tale che $h^-1(H)=g^-1(H)=F$
o ancora $\exists G' \in \tau_E, \tau_F$ tale che $h^-1(H)=f^-1(H)=g^-1(H)=G'$
Questi passaggi non hanno senso. Perché \(G\notin \tau_F\) ? Nulla ti assicura che questa condizione possa essere soddisfatta. Stessa cosa per gli altri passaggi.
Quello che sai è che \(\displaystyle f^{-1}(H) = O\cap E \) e \(\displaystyle g^{-1}(H) = U\cap F \) dove \(\displaystyle O,U\in \tau_X \). Se \(\displaystyle E \) e \(\displaystyle F \) sono aperti allora \(\displaystyle O\cap E, U\cap F \in \tau_X \) quindi puoi supporre che si abbia \(\displaystyle O \subseteq E \) e \(\displaystyle U\subseteq F \).
Ora devi solo mostrare che \(\displaystyle h^{-1}(H) = f^{-1}(H)\cup g^{-1}(H) = O\cup U \).
Grazie per l'aiuto, quello che hai scritto è chiaro.
Per provare ciò devo devo far vedere $h^-1(H) \subset f^-1(H) \cup g^-1(H)$ e $f^-1(H) \cup g^-1(H) \subset h^-1(H)$ che vale la doppia inclusione?
"vict85":
Ora devi solo mostrare che \( \displaystyle h^{-1}(H) = f^{-1}(H)\cup g^{-1}(H) = O\cup U \).
Per provare ciò devo devo far vedere $h^-1(H) \subset f^-1(H) \cup g^-1(H)$ e $f^-1(H) \cup g^-1(H) \subset h^-1(H)$ che vale la doppia inclusione?
Si, comunque sono passaggi piuttosto immediati.
Provo a farlo
$h^-1(H) \subset f^-1(H) \cup g^-1(H)$
Sia $x \in h^-1(H) \subset X=E \cup F$ allora $x \in E$ oppure $x \in F$. Se $x \in E$ allora $h^-1(H)=f^-1(H)$ e quindi $x \in f^-1(H)$ e $x \in f^-1(H) \cup g^-1(H)$
Se $x \in F$ si segue lo stesso ragionamento arrivando alla stessa conclusione.
$f^-1(H) \cup g^-1(H) \subset h^-1(H)$
Sia $x \in f^-1(H) \cup g^-1(H)$ allora $x \in f^-1(H)$ oppure $x \in g^-1(H)$
se $x \in f^-1(H)$ allora $h^-1(H)=f^-1(H)$ quindi $x \in h^-1(H)$
Stesso ragionamento se $ x \in g^-1(H)$
E' corretto? Grazie per l'aiuto
$h^-1(H) \subset f^-1(H) \cup g^-1(H)$
Sia $x \in h^-1(H) \subset X=E \cup F$ allora $x \in E$ oppure $x \in F$. Se $x \in E$ allora $h^-1(H)=f^-1(H)$ e quindi $x \in f^-1(H)$ e $x \in f^-1(H) \cup g^-1(H)$
Se $x \in F$ si segue lo stesso ragionamento arrivando alla stessa conclusione.
$f^-1(H) \cup g^-1(H) \subset h^-1(H)$
Sia $x \in f^-1(H) \cup g^-1(H)$ allora $x \in f^-1(H)$ oppure $x \in g^-1(H)$
se $x \in f^-1(H)$ allora $h^-1(H)=f^-1(H)$ quindi $x \in h^-1(H)$
Stesso ragionamento se $ x \in g^-1(H)$
E' corretto? Grazie per l'aiuto
Sono leggermente perplesso. Il senso espresso dalle formule e quello che immagino tu intenda dire non è lo stesso. Ciò che mi confonde è che non sembra tu abbia problemi nello scrivere le formule e a comprenderle, quindi non capisco in che punto del ragionamento si sia formato l'errore. Insomma ho notato la stessa cosa nel ragionamento iniziale.
Se \(x\in h^{-1}(H)\) allora \(x\in E\) oppure \(x\in F\) fin qui ok. Però la formula \(h^{-1}(H) = f^{-1}(H)\) è sbagliata. Quello che devi fare è che se \(x\in E\) allora \(f(x)\) è definito e coincide con ipotesi con \(h(x)\in H\), pertanto \(x\in f^{-1}(H)\).
Similmente se \(x\in f^{-1}(H)\) allora \(h(x) = f(x) \in H\) e quindi \(x\in h^{-1}(H)\).
Se \(x\in h^{-1}(H)\) allora \(x\in E\) oppure \(x\in F\) fin qui ok. Però la formula \(h^{-1}(H) = f^{-1}(H)\) è sbagliata. Quello che devi fare è che se \(x\in E\) allora \(f(x)\) è definito e coincide con ipotesi con \(h(x)\in H\), pertanto \(x\in f^{-1}(H)\).
Similmente se \(x\in f^{-1}(H)\) allora \(h(x) = f(x) \in H\) e quindi \(x\in h^{-1}(H)\).
Adesso ho capito. Grazie 1000!
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