Esercizio sulla chiusura di un insieme
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio che mi da un po' noia, spero che qualcuno mi sappia fornire qualche delucidazione, un grazie anticipato.
Quindi, siano [tex]A, B[/tex]due sottoinsiemi di una spazio topologico [tex]X[/tex], determinare se vale l'uguaglianza oppure no, e in quest'ultimo caso, quale vale delle due inclusioni $supe$ o $sube$ relativamente alla seguente espressione:
$bar(A - B) = bar(A) -bar(B) $
La soprallineatura significa qui la chiusura dell'insieme in questione, e la chiusura di un insieme è quella definita in generale nel caso di insiemi di una spazio in cui è definita una topologia. In sostanza si tratta di verificare se:
$bar(A nn B^c) = bar(A) nn bar(B)^c$.
Bisogna tener presente che in generale si può dimostrare che: $bar(A nn B^c) = bar(A) nn bar(B^c)$.
Rimane da far vedere se può valere che $bar(B^c) = bar(B)^c$
PS
Indico con $B^c$ il complemento di $B$.
Quindi, siano [tex]A, B[/tex]due sottoinsiemi di una spazio topologico [tex]X[/tex], determinare se vale l'uguaglianza oppure no, e in quest'ultimo caso, quale vale delle due inclusioni $supe$ o $sube$ relativamente alla seguente espressione:
$bar(A - B) = bar(A) -bar(B) $
La soprallineatura significa qui la chiusura dell'insieme in questione, e la chiusura di un insieme è quella definita in generale nel caso di insiemi di una spazio in cui è definita una topologia. In sostanza si tratta di verificare se:
$bar(A nn B^c) = bar(A) nn bar(B)^c$.
Bisogna tener presente che in generale si può dimostrare che: $bar(A nn B^c) = bar(A) nn bar(B^c)$.
Rimane da far vedere se può valere che $bar(B^c) = bar(B)^c$
PS
Indico con $B^c$ il complemento di $B$.
Risposte
Chiaramente non può essere vero in generale: $bar{B^C}$ è sempre chiuso, $bar(B)^C$ sempre aperto.
Ok perfettamente ragione, fin qui mi sono perso nel classico bicchier d'acqua.
Quindi il più picciriddo sarebbe? Secondo me in generale potrebbe essere $ bar(B)^c sube bar(B^c)$ Perchè La chiusura di $B$ contiene sempre l'insieme $B$ stesso, quindi il complemento non ne contiene mai nemmeno un punto, inoltre $bar(B)$ potrebbe contenere punti del complemento di $B$, quindi $bar(B)^c$ che è fatto di soli punti di $B^c$ in generale potrebbe non contenerli tutti, mentre sono invece sempre contenuti in $bar(B^c)$.
Ok grazie, con quanto sopra penso di aver risolto.
Quindi il più picciriddo sarebbe? Secondo me in generale potrebbe essere $ bar(B)^c sube bar(B^c)$ Perchè La chiusura di $B$ contiene sempre l'insieme $B$ stesso, quindi il complemento non ne contiene mai nemmeno un punto, inoltre $bar(B)$ potrebbe contenere punti del complemento di $B$, quindi $bar(B)^c$ che è fatto di soli punti di $B^c$ in generale potrebbe non contenerli tutti, mentre sono invece sempre contenuti in $bar(B^c)$.
Ok grazie, con quanto sopra penso di aver risolto.
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