Esercizio sul teorema di Riemann-Roch
Vorrei proporvi il seguente esercizio, che ho svolto fino ad un certo punto, non riuscendo però a concluderlo:
Si consideri la curva \(\displaystyle \mathcal{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P^2(C)} \; : \; X^4-Y^4+Z^4=0\}\ \) e sia \(\displaystyle P=[0,i,1] \). Calcolare \(\displaystyle l(nP) \) per \(\displaystyle n \geq 0 \).
Si verifica subito che \(\displaystyle \mathcal{C} \) è una curva non-singolare e, usando la formula del genere, \(\displaystyle g=g(\mathcal{C})= \frac{(4-1)(4-2)}{2}=3 \).
Per il teorema di Riemann-Roch: \(\displaystyle l(nP)=l(K-nP)+n-3+1=l(K-nP)+n-2 \), dove \(\displaystyle K \) è un divisore canonico.
Essendo \(\displaystyle K \) un divisore canonico, esso avrà grado \(\displaystyle 2g-2=4 \).
Ma allora, ricordando che:
Si consideri la curva \(\displaystyle \mathcal{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P^2(C)} \; : \; X^4-Y^4+Z^4=0\}\ \) e sia \(\displaystyle P=[0,i,1] \). Calcolare \(\displaystyle l(nP) \) per \(\displaystyle n \geq 0 \).
Si verifica subito che \(\displaystyle \mathcal{C} \) è una curva non-singolare e, usando la formula del genere, \(\displaystyle g=g(\mathcal{C})= \frac{(4-1)(4-2)}{2}=3 \).
Per il teorema di Riemann-Roch: \(\displaystyle l(nP)=l(K-nP)+n-3+1=l(K-nP)+n-2 \), dove \(\displaystyle K \) è un divisore canonico.
Essendo \(\displaystyle K \) un divisore canonico, esso avrà grado \(\displaystyle 2g-2=4 \).
Ma allora, ricordando che:
- \item il grado è additivo,
\item se il grado di un divisore \(\displaystyle D \)è negativo, allora \(\displaystyle l(D)=0 \), [/list:u:3byxwbh8]
abbiamo che, per \(\displaystyle n \geq 5 \), \(\displaystyle l(nP)=n-2 \).
Per \(\displaystyle n=0 \) la formula scritta prima diventa \(\displaystyle l(0)=l(K)-3+1=1 \), poiché dalla teoria sappiamo che \(\displaystyle l(K)=g \).
Per \(\displaystyle n=1 \) deve essere necessariamente \(\displaystyle l(P)=1 \): se infatti fosse \(\displaystyle l(P)=2 \), avrei sulla curva (che è una superficie di Riemann compatta) una funzione meromorfa non costante con un polo semplice in P, vale a dire un'applicazione di grado 1, e dunque un isomorfismo dalla curva in \(\displaystyle \mathbb{P^1(C)} \). Ma questo è assurdo perché il genere della curva non è zero.
A questo punto mi sono bloccato: qualcuno sa come trattere i casi restanti?
Risposte
La curva $C$ e’ liscia e il tangente $r$ al punto $P=(0:i:1)$ e’ la retta $Y=iZ$.
Il punto $P$ e’ l’unico punto di intersezione di $r$ con la curva $C$.
Invece, la retta di equazione $X=0$ ha quattro punti di intersezione distinti
con $C$, vale a dire $Q_1=(0:1:1)$, $Q_2=(0:-1:1)$, $Q_3=(0:- i:1)$
e il nostro punto $P=(0:i,1)$.
Questo implica che la funzione $f=X/(Y-iZ)$ ha divisore
$Q_1+Q_2+Q_3-3P$
La funzione $f$ sta quindi in $L(3P)$. Clifford ci dice che $l(3P)\le 1+3//2$.
Poiche’ $L(3P)$ contiene le funzioni costanti (sono in $L(0)$), abbiamo quindi
che $l(3P)=2$. Poiche' in $L(3P)$ non ci sono funzioni con un polo di ordine $2$
in $P$, abbiamo che $l(2P)=l(P)=1$.
(e vediamo anche che la curva non e’ iperellittica).
Similmente, la funzione $Y/(Y-iZ)$ ha un polo di ordine $4$ in $P$.
Questo implica che $l(4P)=3$
Il punto $P$ e’ l’unico punto di intersezione di $r$ con la curva $C$.
Invece, la retta di equazione $X=0$ ha quattro punti di intersezione distinti
con $C$, vale a dire $Q_1=(0:1:1)$, $Q_2=(0:-1:1)$, $Q_3=(0:- i:1)$
e il nostro punto $P=(0:i,1)$.
Questo implica che la funzione $f=X/(Y-iZ)$ ha divisore
$Q_1+Q_2+Q_3-3P$
La funzione $f$ sta quindi in $L(3P)$. Clifford ci dice che $l(3P)\le 1+3//2$.
Poiche’ $L(3P)$ contiene le funzioni costanti (sono in $L(0)$), abbiamo quindi
che $l(3P)=2$. Poiche' in $L(3P)$ non ci sono funzioni con un polo di ordine $2$
in $P$, abbiamo che $l(2P)=l(P)=1$.
(e vediamo anche che la curva non e’ iperellittica).
Similmente, la funzione $Y/(Y-iZ)$ ha un polo di ordine $4$ in $P$.
Questo implica che $l(4P)=3$
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