Esercizio sul teorema di Cayley-Hamilton
Mi sto scontrando da tempo con il seguente esercizio: Potete aiutarmi?
Risposte
Tanto per cominciare calcola il polinomio caratteristico della matrice.
Ho calcolato il polinomio caratteristico: $ -x^3+6x^2-11x+6 $ .Continuo a non capire come utilizzare il teorema di Cayley-Hamilton per calcolare l'inversa di una matrice.
Bene, ora che hai calcolato il polinomio caratteristico, cosa ti dice il teorema di Cayley-Hamilton?
Dopo aver risposto a questa domanda, se non ti viene niente in mente, proseguo io...
Dopo aver risposto a questa domanda, se non ti viene niente in mente, proseguo io...
Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che ogni matrice quadrata annulla il suo polinomio caratteristico.Il buio continua...
Scritto in simboli:
$ -A^3+6A^2-11A+6I = 0$
cioè
$I=\frac{1}{6}(A^3-6A^2+11A)$
dove $I$ è la matrice identica di ordine $3$ e $0$ è la matrice nulla.
Ora prova a moltiplicare ambo i membri dell'ultima uguaglianza per $A^{-1}$ (osserva che $A^{-1}$ esiste, perchè?).
$ -A^3+6A^2-11A+6I = 0$
cioè
$I=\frac{1}{6}(A^3-6A^2+11A)$
dove $I$ è la matrice identica di ordine $3$ e $0$ è la matrice nulla.
Ora prova a moltiplicare ambo i membri dell'ultima uguaglianza per $A^{-1}$ (osserva che $A^{-1}$ esiste, perchè?).
Grazie per i consigli.Finalmente ho un' idea di come risolvere il problema.Scusa se ti ho portato via un po' troppo tempo.
Perchè $A^-1$ esiste?
Seguendo i consigli di cirasa ottieni che
\[ 6\,A^{-1} = A^2 - 6\,A +11\,I. \]
In realtà non è formalmente corretto moltiplicare per \(A^{-1},\) non avendone ancora provato l'esistenza. Ma è in effetti sufficiente osservare che \(A^{-1},\) se esiste, è l'unica matrice \(B\) per cui \(I = B\,A = A\,B.\) Di fatto è sufficiente dimostrare solo una delle due relazioni. Ma è semplice osservare che si ha la relazione
\[ I = (1/6)(A^3 - 6\,A^2 + 11\,A) = (1/6)(A^2 - 6\,A +11\,I)\,A \]
raccogliendo la matrice \(A\) nell'equazione.
\[ 6\,A^{-1} = A^2 - 6\,A +11\,I. \]
In realtà non è formalmente corretto moltiplicare per \(A^{-1},\) non avendone ancora provato l'esistenza. Ma è in effetti sufficiente osservare che \(A^{-1},\) se esiste, è l'unica matrice \(B\) per cui \(I = B\,A = A\,B.\) Di fatto è sufficiente dimostrare solo una delle due relazioni. Ma è semplice osservare che si ha la relazione
\[ I = (1/6)(A^3 - 6\,A^2 + 11\,A) = (1/6)(A^2 - 6\,A +11\,I)\,A \]
raccogliendo la matrice \(A\) nell'equazione.
"matnice":
Perchè $A^-1$ esiste?
Perché \(\displaystyle det A \neq 0\)
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