Esercizio sul Rango di una matrice

[TEX1]

Ciao a tutti.
Vi scrivo la traccia dell'esercizio:

Si studi il rango della seguente matrice al variare del parametro reale k
$A=((0,1,k,k),(1,1-k,2,1),(1,k,3,2),(0,2,2k,2k))inRR^(4,4)$ $AA kinRR$

Vorrei che mi confermiate il procedimento

Svolgimento.

Il rango della matrice $A$ è $1<=r(A)<=4$
Notiamo che la quarta riga è combinazione lineare delle altre poiché $r_4=2r_1+0r_2+0r_3$, per cui possiamo tralasciare la quarta riga
ottenendo quindi che il rango della matrice $A$ è $1<=r(A)<=3$

Ora considero il minore non singolare $M$ di ordine $2$ prendendo la prima e seconda riga e la seconda e terza colonna, e calcolo il suo determinante per verificare che il determinante sia $!=0$
$M=((1,k),(1-k,2))inRR^(2,2)$
$detM=k^2-k+2$
$Delta<0$ $=>$ $detM!=0$ $AA kinRR$
quindi $2<=r(A)<=3$

Considero gli orlati di $M$ e ne calcolo i determinanti.

$O_1=((0,1,k),(1,1-k,2),(1,k,3))inRR^(3,3)$
$detO_1=2k^2-k-1$
$k=1 vv k=-1/2$

$O_2=((1,k,k),(1-k,2,1),(k,3,2))inRR^(3,3)$
$detO_1=2k^2-k-1$
$k=1 vv k=-1/2$

Quindi
$se$ $k=1 vv k=-1/2$ allora $r(A)=2$
$se$ $k!=1 ^^ k!=-1/2$ allora $r(A)=3$

Mi interessa sapere se il ragionamento è corretto...
...ma se qualche anima pia verificasse anche i calcoli gliene sarei molto grato


GRAZIE MILLE

[minomic]

Ciao, mi sembra tutto corretto, a parte un dettaglio che probabilmente è una svista. Al posto del determinante di $O_2$ hai riportato quello di $O_1$. In ogni caso il determinante di $O_2$ è uguale ma ha tutti i segni cambiati, motivo per cui i valori che lo annullano sono gli stessi che annullano il determinante di $O_1$.

[TEX1]

una domanda... se invece tra i valori di k non ce ne fosse stato neanche uno che annullasse sia $O_1$ che $O_2$ contemporaneamente, il rango sarebbe stato 3. Esatto?

[minomic]

Esatto, perché sarebbe esistito almeno un minore $3xx3$ invertibile, e questo è sufficiente per dire che il rango della matrice è pari a $3$.

[TEX1]

Perfetto. Grazie