Esercizio sul rango
Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate aventi lo stesso rango. E' vero che $rank(A^2) = rank(B^2)$?
Per risolvere un esercizio del genere ho bisogno di conoscere determinate proprietà o posso arrivarci con semplici passaggi?
Sicuramente sarà semplice, ma non so proprio come ragionare.
Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Sia $A= ((a,b),(c,d))$ quindi $A^2= ((a^2+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^2))$
e sia $B= ((x,y),(z,t))$ quindi $B^2= ((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,zy+t^2))$
Però arrivato a questo punto, non so come continuare... come faccio e capire se $rank(A^2) = rank(B^2)$?
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano
Per risolvere un esercizio del genere ho bisogno di conoscere determinate proprietà o posso arrivarci con semplici passaggi?
Sicuramente sarà semplice, ma non so proprio come ragionare.
Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Sia $A= ((a,b),(c,d))$ quindi $A^2= ((a^2+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^2))$
e sia $B= ((x,y),(z,t))$ quindi $B^2= ((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,zy+t^2))$
Però arrivato a questo punto, non so come continuare... come faccio e capire se $rank(A^2) = rank(B^2)$?
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano
Risposte
Ciao.
Piccolo spunto riflessivo per iniziare a ragionare su quest'esercizio.
Sia $A_L in M(n xx n;RR)$ e sia $L in End(RR^n)$ l'endomorfismo associato alla matrice.
La matrice $A_L^2$ sarà associata all'endomorfismo....
Si ricordi, inoltre, che $rkA_L=dimImL$.
Saluti.
Piccolo spunto riflessivo per iniziare a ragionare su quest'esercizio.
Sia $A_L in M(n xx n;RR)$ e sia $L in End(RR^n)$ l'endomorfismo associato alla matrice.
La matrice $A_L^2$ sarà associata all'endomorfismo....
Si ricordi, inoltre, che $rkA_L=dimImL$.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Piccolo spunto riflessivo per iniziare a ragionare su quest'esercizio.
Sia $ A_L in M(n xx n;RR) $ e sia $ L in End(RR^n) $ l'endomorfismo associato alla matrice.
La matrice $ A_L^2 $ sarà associata all'endomorfismo....
Saluti.
Ciao Alessandro, innanzitutto grazie per il tuo aiuto!
Scusami però non ti seguo
premetto, che con le applicazioni lineari, sono ancora un principiante e purtroppo non riesco a trovare del materiale in rete che mi aiuti a risolvere un esercizio simile a questo.Non è che potresti spiegarmi gli step da seguire per comprendere questo esercizio
grazie ancora!!
Sperando di non dar fastidio ad alessandro8 che sicuramente darà consigli utili, ti do il mio che è proprio piccino.
Se devo rispondere a domande del tipo "vero o falso", magari per giunta senza ipotesi, come in questo caso, se non mi viene in mente subito una dimostrazione della verità, cerco un controesempio facile.
Una matrice che torna spesso utile per i controesempiucci è $$\left(\begin{matrix} 0 & 1\\
0 & 0\end{matrix}\right).$$
Questa ha rango uguale a 1, e il suo quadrato..? Ti viene in mente un'altra matrice, con le stesse entrate ma messe in modo diverso, tale che elevata al quadrato ha ancora rango 1?
Se devo rispondere a domande del tipo "vero o falso", magari per giunta senza ipotesi, come in questo caso, se non mi viene in mente subito una dimostrazione della verità, cerco un controesempio facile.
Una matrice che torna spesso utile per i controesempiucci è $$\left(\begin{matrix} 0 & 1\\
0 & 0\end{matrix}\right).$$
Questa ha rango uguale a 1, e il suo quadrato..? Ti viene in mente un'altra matrice, con le stesse entrate ma messe in modo diverso, tale che elevata al quadrato ha ancora rango 1?
"Trilogy":
Sperando di non dar fastidio ad alessandro8...
Nessun fastidio, Trilogy, anzi; hai fatto non bene, ma benissimo, così "si taglia subito la testa al toro", come si suol dire.
Alle volte non si pensa subito alle soluzioni più immediate, e questo è quello che è successo a me, stavolta.
@bellrodo: ragiona sul controesempio di Trilogy e risolverai il problema immediatamente.
Saluti.
"Trilogy":
Una matrice che torna spesso utile per i controesempiucci è \[ \left(\begin{matrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{matrix}\right). \]
Questa ha rango uguale a 1, e il suo quadrato..? Ti viene in mente un'altra matrice, con le stesse entrate ma messe in modo diverso, tale che elevata al quadrato ha ancora rango 1?
Grazie per l'aiuto Trilogy, però se due matrici $A,B$ sono idempotenti e hanno rango uguale è immediato scoprire che, le stesse, elevante entrambe al quadrato, avranno ancora rango uguale.
Dovrei trovare una definizione che mi garantisce se la relazione chiesta nell'esercio sia vera o falsa per qualsiasi matrice presa in considerazione... ad esempio se le matrici $A,B$ fossero:
$A= $ $((a_11,a_12,a_13,),(a_21,a_22,a_23,),(a_31,a_32,a_33,))$ , $B= $ $((b_11,b_12,b_13,),(b_21,b_22,b_23,),(b_31,b_32,b_33,))$
con tutti gli elementi diversi tra loro... come faccio a verificare se la relazione sia vera o falsa?
Veramente io ho pensato a $$\left(\begin{matrix}
1&0\\
0&0\end{matrix}\right),$$ che è idempotente, e all'altra matrice che ho scritto prima, che è NILpotente...
1&0\\
0&0\end{matrix}\right),$$ che è idempotente, e all'altra matrice che ho scritto prima, che è NILpotente...
"Trilogy":
Veramente io ho pensato a $$\left(\begin{matrix}
1&0\\
0&0\end{matrix}\right),$$ che è idempotente, e all'altra matrice che ho scritto prima, che è NILpotente...
hai ragione scusa... ennesimo errore di distrazione...
quindi praticamente: mi basta prendere $A$ nilpotente ; $B$ idempotente (con rango uguale) e dimostro che, $A^2$ e $B^2$ hanno rango diverso, quindi la relazione è falsa.
Grazie mille!
"bellrodo":
...quindi praticamente: mi basta prendere $A$ nilpotente ; $B$ idempotente (con rango uguale) e dimostro che, $A^2$ e $B^2$ hanno rango diverso, quindi la relazione è falsa.
Attenzione, però, al fatto che la matrice nilpotente, affinchè il "trucco" funzioni con questa modalità, dovrebbe avere indice di nilpotenza pari a due, cioè si dovrebbe avere $A!=0$ e $A^2=0$.
Saluti.
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