Esercizio sul quoziente
Sia $S^2$ la sfera unitaria, $(x,y,z) \sim (x',y',z')$ se e solo se $z=z'$.
devo dire se $S^2/\sim$ è uno spazio compatto connesso e di Hausdorff.
allora posso dire che è compatto subito dato che è il quoziente di un compatto.
Per le altre due mi devo studiare lo spazio in questione. Ora se non dico una grande cretinata credo che $S^2/ \sim = I= [-1,1]$ perchè ogni parallelo va in una classe di equivalenza, dunque è anche un connesso e un Hausdorff.
Ora la cosa che non mi suona bene è che le controimmagini di un aperto nel quoziente mi da come aperto in $S^2$ non i dischi aperti ma strisce aperte di paralleli.
Grazie a presto.
devo dire se $S^2/\sim$ è uno spazio compatto connesso e di Hausdorff.
allora posso dire che è compatto subito dato che è il quoziente di un compatto.
Per le altre due mi devo studiare lo spazio in questione. Ora se non dico una grande cretinata credo che $S^2/ \sim = I= [-1,1]$ perchè ogni parallelo va in una classe di equivalenza, dunque è anche un connesso e un Hausdorff.
Ora la cosa che non mi suona bene è che le controimmagini di un aperto nel quoziente mi da come aperto in $S^2$ non i dischi aperti ma strisce aperte di paralleli.
Grazie a presto.
Risposte
Il quoziente è corretto e gli aperti di I sono immagine di aperti in S^2... I dischi aperti sono una base, non sono tutti gli aperti...
quindi è giusto che le controimmagini danno strisce di paralleli???
L'idea è giusta.. Però andrebbe formalizzata..
Sia $f : S^2 -> [-1,1] \ , \ (x,y,z) -> z$. $f$ è chiaramente continua.
Sia $p : S^2 -> S^2 / \sim \ , \ P ->
Sia $f : S^2 -> [-1,1] \ , \ (x,y,z) -> z$. $f$ è chiaramente continua.
Sia $p : S^2 -> S^2 / \sim \ , \ P ->
_{\sim}$ la proiezione al quoziente.
Osserviamo che $f$ è costante sulle classi di $sim$-equivalenza, quindi è ben definita un'applicazione
$phi : S^2 / sim -> [-1,1] \ , \ [ (x,y,z) ]_sim -> z$.
Cioè $phi circ p = f$.
Ora vogliamo mostrare che l'applicazione $phi$ è un omeomorfismo:
$phi$ è continua: per la proprietà universale della topologia quoziente.
$phi$ è surgettiva: ovvio perché $f$ è surgettiva.
$phi$ è iniettiva: facile.
$phi$ è chiusa: $S^2 / sim$ è compatto perché quoziente di compatto, $[-1,1]$ è di Hausdorff.
grazie ora sto più tranquilla 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo