Esercizio sul prodotto vettoriale
Salve a tutti , sono alle prese con quest'esercizio :
Nello spazio vettoriale di V3 ,rispetto ad una base B= ( i, j , k) ,ortonormale positiva , sono dati i vettori :
a = (1,0,1) , b = (-2,1,0 ) , c = (h,k,-2) , $ k,h in RR $ .
Assegnati ad h,k, i valori per cui c è parallelo al vettore $ a ^^ b $ ,calcolare le componenti del vettore x di norma $ sqrt(3) $ ,complanare ad a e b e tale che il volume (col segno)
del tetraedro di spigoli a,c,x, sia uguale a 2 .
Allora per il primo punto $ a ^^ b $ = -i-2j+k, quindi c è parallelo a $ a ^^ b $ se e solo se h=2 e k=4,quindi c = (2,4,-2).
x è complanare a $ x^^a *b $ se
$ | ( x1 , x2 , x3 ),( 1, 0 , 1 ),( -2 , 1 ,0) |=0 $
ora non so come continuare : se calcolo il determinante ottengo -x1+2x2+x3 ; come faccio a porlo uguale a 0 ?
per calcolare le componenti del vettore x in modo tale che il volume (...)sia uguale a 2 volte il tetraedro devo porre : $ a^^c *x =12 $
e quindi ottenere questo sistema $ | ( 1 ,0 , 1 ),( 2 , 4 , -2 ),( x1 , x2 , x3 ) | $ ; come continuo ?
come faccio a porre la norma uguale a $ sqrt(3) $ ?
Alla fine devo mettere a sistema i risultati ottenuti ?
Avrei bisogno solo di un'illuminazione . Spero in una vostra risposta
Nello spazio vettoriale di V3 ,rispetto ad una base B= ( i, j , k) ,ortonormale positiva , sono dati i vettori :
a = (1,0,1) , b = (-2,1,0 ) , c = (h,k,-2) , $ k,h in RR $ .
Assegnati ad h,k, i valori per cui c è parallelo al vettore $ a ^^ b $ ,calcolare le componenti del vettore x di norma $ sqrt(3) $ ,complanare ad a e b e tale che il volume (col segno)
del tetraedro di spigoli a,c,x, sia uguale a 2 .
Allora per il primo punto $ a ^^ b $ = -i-2j+k, quindi c è parallelo a $ a ^^ b $ se e solo se h=2 e k=4,quindi c = (2,4,-2).
x è complanare a $ x^^a *b $ se
$ | ( x1 , x2 , x3 ),( 1, 0 , 1 ),( -2 , 1 ,0) |=0 $
ora non so come continuare : se calcolo il determinante ottengo -x1+2x2+x3 ; come faccio a porlo uguale a 0 ?
per calcolare le componenti del vettore x in modo tale che il volume (...)sia uguale a 2 volte il tetraedro devo porre : $ a^^c *x =12 $
e quindi ottenere questo sistema $ | ( 1 ,0 , 1 ),( 2 , 4 , -2 ),( x1 , x2 , x3 ) | $ ; come continuo ?
come faccio a porre la norma uguale a $ sqrt(3) $ ?
Alla fine devo mettere a sistema i risultati ottenuti ?
Avrei bisogno solo di un'illuminazione . Spero in una vostra risposta
Risposte
Che significa base ortonormale positiva?
Inoltre, un vettore di tale base lo chiami $k$ ed un parametro reale per il vettore $c$ lo chiami con medesima lettera; personalmente mi sento confuso, non saprei darti una mano e ti chiederei di correggere! Grazie (ma lo dico per te, non per me).
Inoltre, un vettore di tale base lo chiami $k$ ed un parametro reale per il vettore $c$ lo chiami con medesima lettera; personalmente mi sento confuso, non saprei darti una mano e ti chiederei di correggere! Grazie (ma lo dico per te, non per me).
Sul mio libro è riportato :
una base ortonormale B = (i,j,k) di V3 di dice positiva se $ i ^^ j = k $ ,cioè se $ i ^^ j * k=1 $ .
Correggo il testo utilizzando altre lettere :
Nello spazio vettoriale di V3 ,rispetto ad una base B= ( i, j , k) ,ortonormale positiva , sono dati i vettori :
a = (1,0,1) , b = (-2,1,0 ) , c = (alfa,beta,-2) , alfa,beta ∈ℝ .
Assegnati ad alfa,beta , i valori per cui c è parallelo al vettore a∧b ,calcolare le componenti del vettore x di norma 3 ,complanare ad a e b e tale che il volume (col segno)
del tetraedro di spigoli a,c,x, sia uguale a 12 .
Allora per il primo punto a∧b = -i-2j+k, quindi c è parallelo a a∧b se e solo se alfa=2 e beta=4,quindi c = (2,4,-2).
Ora è comprensibile?
In caso contrario riposterò
una base ortonormale B = (i,j,k) di V3 di dice positiva se $ i ^^ j = k $ ,cioè se $ i ^^ j * k=1 $ .
Correggo il testo utilizzando altre lettere :
Nello spazio vettoriale di V3 ,rispetto ad una base B= ( i, j , k) ,ortonormale positiva , sono dati i vettori :
a = (1,0,1) , b = (-2,1,0 ) , c = (alfa,beta,-2) , alfa,beta ∈ℝ .
Assegnati ad alfa,beta , i valori per cui c è parallelo al vettore a∧b ,calcolare le componenti del vettore x di norma 3 ,complanare ad a e b e tale che il volume (col segno)
del tetraedro di spigoli a,c,x, sia uguale a 12 .
Allora per il primo punto a∧b = -i-2j+k, quindi c è parallelo a a∧b se e solo se alfa=2 e beta=4,quindi c = (2,4,-2).
Ora è comprensibile?
In caso contrario riposterò
Aggiungo : una base ortonormale B = (i,j,k) di V3 si dice negativa se : i∧j=-k cioè se i∧j⋅k=-1 .
Per sul testo dell'eserzio è riportata questa precisazione : base ortonormale positiva?
Per sul testo dell'eserzio è riportata questa precisazione : base ortonormale positiva?
Ciao!
Allora, tu hai trovato $c$, bene. Adesso tu sai tutto dei vettori $a$,$b$,$c$. Ora devi determinare $x$. Che vuol dire determinare un vettore? Significa trovarne le componenti rispetto a una base assegnata.
Quindi, vuol dire che hai tre incognite da determinare, cioè le tre componenti (rispetto a $(i,j,k)$): $x=(x_1,x_2,x_3)$.
E come fai? Usi i dati del problema.
1. $x$ deve essere complanare a $a$ e $b$: giustamente imponi che il prodotto misto sia nullo. Vuol dire che hai l'equazione $-x_1+2x_2+x_3=0$ (non ho controllato i conti).
2. imponi la condizione per il volume del tetraedro (sempre con il prodotto misto!);
3. per ultima (perchè è un'equazione di secondo grado) tieni conto della condizione sulla norma
In definitiva, 3 equazioni, 3 incognite. Sei a posto. Naturalmente, nessuno garantisce che un tale vettore possa esistere, nè che (qualora esista) sia unico. Dunque, il sistema può essere di qualunque tipo (risolubile, indeterminato, impossibile).
A te i conti, sperando di averti chiarito le idee.
Allora, tu hai trovato $c$, bene. Adesso tu sai tutto dei vettori $a$,$b$,$c$. Ora devi determinare $x$. Che vuol dire determinare un vettore? Significa trovarne le componenti rispetto a una base assegnata.
Quindi, vuol dire che hai tre incognite da determinare, cioè le tre componenti (rispetto a $(i,j,k)$): $x=(x_1,x_2,x_3)$.
E come fai? Usi i dati del problema.
1. $x$ deve essere complanare a $a$ e $b$: giustamente imponi che il prodotto misto sia nullo. Vuol dire che hai l'equazione $-x_1+2x_2+x_3=0$ (non ho controllato i conti).
2. imponi la condizione per il volume del tetraedro (sempre con il prodotto misto!);
3. per ultima (perchè è un'equazione di secondo grado) tieni conto della condizione sulla norma
In definitiva, 3 equazioni, 3 incognite. Sei a posto. Naturalmente, nessuno garantisce che un tale vettore possa esistere, nè che (qualora esista) sia unico. Dunque, il sistema può essere di qualunque tipo (risolubile, indeterminato, impossibile).
A te i conti, sperando di averti chiarito le idee.
Hai spiegato molto chiaramente ; ho ancora un dubbio
devo imporre che (a esterno c )*x =12
quindi ottengo la matrice $ | ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 4 , -2 ),( x1, x2 , x3 ) | $
come soddisfo la condizione di partenza?
devo imporre che (a esterno c )*x =12
quindi ottengo la matrice $ | ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , 4 , -2 ),( x1, x2 , x3 ) | $
come soddisfo la condizione di partenza?
Non è una matrice ma un determinante di matrice quadrata di ordine 3!
Ha senso porre il determinate uguale a 12 ?
Sì, $x_1$; $x_2$ ed $x_3$ sono le componenti incognite che devi determinare mediante tutte l'informazioni che ti sono richieste dall'esercizio!
"amicodelpinguino":
Ha senso porre il determinate uguale a 12 ?
Sì, esatto; ricorda, infatti che il prodotto misto di tre vettori è (geometricamente) pari a sei volte il volume (con segno) del tetraedro che essi individuano.
Se hai ancora bisogno, fai un fischio
Grazie mille del vostro aiuto !
Prego, di nulla!
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