Esercizio sul prodotto scalare ?
Nello spazio vettoriale R³ sul campo R, si consideri il prodotto scalare
(x¹,x²,x³)(y¹,y²,y³) = x¹y¹ + x²y¹ + x¹y² + 2x²y² + 2x³y² + 2x²y³ + 5x³y³
a) Rispetto al prodotto scalare consideratp, la base canonica di R³ è ortogonale ? E' ortonormale ?
b) Stabilire se i vettori a = ( 1, -1, 0 ) e b = ( -1, 2, -1 ) costituiscono una base ortogonale per il sottospazio U = Span(a,b).
c) Costruire una base ortonormale (u1, u2, u3) di R³ rispetto al prodotto scalare considerato, con u1, u2 ∈ U.
I punti a) e b) sono riuscito a farli. Il problema lo riscontro nel punto c), poichè non riesco a capire da quale base devo partire per costruire la nuova base.
(x¹,x²,x³)(y¹,y²,y³) = x¹y¹ + x²y¹ + x¹y² + 2x²y² + 2x³y² + 2x²y³ + 5x³y³
a) Rispetto al prodotto scalare consideratp, la base canonica di R³ è ortogonale ? E' ortonormale ?
b) Stabilire se i vettori a = ( 1, -1, 0 ) e b = ( -1, 2, -1 ) costituiscono una base ortogonale per il sottospazio U = Span(a,b).
c) Costruire una base ortonormale (u1, u2, u3) di R³ rispetto al prodotto scalare considerato, con u1, u2 ∈ U.
I punti a) e b) sono riuscito a farli. Il problema lo riscontro nel punto c), poichè non riesco a capire da quale base devo partire per costruire la nuova base.
Risposte
Da quella canonica, in cui il prodotto scalare ti è implicitamente dato.
Puoi scrivermela la base dalla quale devo partire ?
Come hai fatto il primo punto senza sapere cos'è la base canonica?
Quindi devo usare la base B =(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1 ) ?
E il dato u1, u2 ∈ U a cosa mi serve e dove devo utilizzarlo ?
E il dato u1, u2 ∈ U a cosa mi serve e dove devo utilizzarlo ?
Non devi utilizzarlo, e non è un dato, devi trovare una base ortogonale di $U$, e completarla a una base ortogonale di tutto lo spazio.
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