Esercizio sul nucleo
Buonasera, ho svolto il seguente esercizio e vorrei sapere se il procedimento è esatto non avendo i risultati e quindi non potendo verificare quindi vi chiedo di seguirmi solo nei procedimenti se potete 
:
Sia $ varphi_t: R^3rarr R^3 $ un'applicazione lineare così definita:
$ varphi_t(e_1)=te_1+3e_3,varphi(e_2)=e_1+e_2+ -e_3, varphi(e_3)=2e_1+(t+1)e_3 $
Ho ricavato la matrice associata: $ ( ( t , 0 , 3 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , 0 , t+1 ) ) $
Fin qui credo sia ok, il dubbio maggiore lo ho sulla seguente consegna:
- determinare i valori di t per cui dim($Kervarphi_t$) $ != $ 2
Ecco, io l'ho svolto ricavando il rango della matrice con il parametro ed ho trovato i due valori di t:
Per t=2 la matrice ha rango 2
per t=-3 la matrice ha rango 2
Ho applicato poi la formula per le dimensioni (essendo che il rango della matrice corrisponde alla dimensione dell'immagine) ed ho quindi che il nucleo ha dimensione 1.
Quindi in conclusione posso dire che per t=2 $ uu $ t=-3 il nucleo è diverso da 2.
E' corretto il procedimento??
Vi ringrazio!
:Sia $ varphi_t: R^3rarr R^3 $ un'applicazione lineare così definita:
$ varphi_t(e_1)=te_1+3e_3,varphi(e_2)=e_1+e_2+ -e_3, varphi(e_3)=2e_1+(t+1)e_3 $
Ho ricavato la matrice associata: $ ( ( t , 0 , 3 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , 0 , t+1 ) ) $
Fin qui credo sia ok, il dubbio maggiore lo ho sulla seguente consegna:
- determinare i valori di t per cui dim($Kervarphi_t$) $ != $ 2
Ecco, io l'ho svolto ricavando il rango della matrice con il parametro ed ho trovato i due valori di t:
Per t=2 la matrice ha rango 2
per t=-3 la matrice ha rango 2
Ho applicato poi la formula per le dimensioni (essendo che il rango della matrice corrisponde alla dimensione dell'immagine) ed ho quindi che il nucleo ha dimensione 1.
Quindi in conclusione posso dire che per t=2 $ uu $ t=-3 il nucleo è diverso da 2.
E' corretto il procedimento??
Vi ringrazio!
Risposte
Non so se cambi qualcosa, però in generale le immagini le devi posizionare come vettori colonna della tua matrice. O almeno io ho sempre fatto così.
Si il procedimento va bene, hai trovato anche il valore di t per cui il rango è 3(se possibile) e quindi il nucleo ha dimensione 0?
Si il procedimento va bene, hai trovato anche il valore di t per cui il rango è 3(se possibile) e quindi il nucleo ha dimensione 0?
"Vicia":
Non so se cambi qualcosa, però in generale le immagini le devi posizionare come vettori colonna della tua matrice. O almeno io ho sempre fatto così.
Si il procedimento va bene, hai trovato anche il valore di t per cui il rango è 3(se possibile) e quindi il nucleo ha dimensione 0?
Ciao io credo non cambi perchè ho provato a ripetere il procedimento fatto precedentemente (calcolando determinante e ponendolo diverso da 0) e mi vengono gli stessi valori.
No questo non lo avevo fatto cioè scusa perchè calcolandomi il determinante e ponendolo diverso da 0 non vado già a studiare anche gli eventuali valori per cui il rango è max? In questo caso poi venivano due valori di t con rango=2 per entrambi..
Ah perfetto, non lo sapevo che non cambiava.
Si certo, così devi fare. Quando scrivo i valori per cui il rango è tre è inteso in questo senso.
Si certo, così devi fare. Quando scrivo i valori per cui il rango è tre è inteso in questo senso.
io direi che manca un pezzo. finora hai concluso che:
\( Rg A= \begin{cases} 2 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 1 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
dunque per il teorema delle dimensioni (o nullità+rango) hai che
\( dim (Ker \varphi_t)= \begin{cases} 1 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 0 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
io quindi concluderei affermando che \(Ker \varphi_t =neq 2\) $AAt$
\( Rg A= \begin{cases} 2 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 1 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
dunque per il teorema delle dimensioni (o nullità+rango) hai che
\( dim (Ker \varphi_t)= \begin{cases} 1 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 0 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
io quindi concluderei affermando che \(Ker \varphi_t =neq 2\) $AAt$
"cooper":
io direi che manca un pezzo. finora hai concluso che:
\( Rg A= \begin{cases} 2 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 1 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
dunque per il teorema delle dimensioni (o nullità+rango) hai che
\( dim (Ker \varphi_t)= \begin{cases} 1 & \text{se} \; t =-3,2 \\ \\ 0 & \text{se} \; t \neq -3,2 \end{cases} \)
io quindi concluderei affermando che \(Ker \varphi_t =neq 2\) $AAt$
Sisi, forse non l'avevo riportato in modo molto chiaro per il rango mi trovo come dici applicando il teorema delle dimensioni. Ma Cosa intendi con la scrittura" "neq2" ?
Comunque grazie raga!
"Amedim":
Sisi, forse non l'avevo riportato in modo molto chiaro per il rango mi trovo come dici applicando il teorema delle dimensioni.
l'importante è che da qualche parte lo considerassi
"Amedim":
Ma Cosa intendi con la scrittura" "neq2" ?
mi è scappato l'uguale. doveva essere "\neq" che serve in latex x fare il diverso.
$Kerφ_t != 2$ $ ∀t $
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