Esercizio sul matrici simili e diagonalizzazione
Ciao. Vi sottopongo il mio esercizio. Non so più dove sbattere la testa.
Considerare due matrici a coefficienti in R:
A=$ ( ( 3 , h-1 , h ),( 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ e S= $ ( ( 2 , 0 , 2 ),( 0 , 3 , 0 ),( 2 , 0 , -1 ) ) $
Si dica se per qualche valore di h le due matrici sono simili.
So che S è simmetrica allora è diagonalizzabile con una matrice ortogonale (e quindi è simile alla matrice diagonale D con gli autovalori sulla propria diagonale principale).
Dovrei ora vedere che A è diagonalizzabile (e quindi simile alla matrice diagonale D con autovalori sulla diagonale principale) e da questi due risultati giungere alla similitudine per transitività.
Il mio problema è: LA(endomorfismo associato alla matrice A) e semplice e quindi diagonalizzabile? Facendo il polinomio caratteristico di LA escludo h dalla discussione poichè A e diagonale!
Il risultato a cui sono giunto non mi convince dato che nei miei testi d'asame vi sono esercizi di questo tipo che poi si sviluppano facendo intendere che esiste qualche h per cui le matrici A e S sono simili...Le varianti a questo esercizio mi portano allo stesso punto
.
Mi serve l'aiuto di qualche mente illuminata. Grazie!
Considerare due matrici a coefficienti in R:
A=$ ( ( 3 , h-1 , h ),( 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ e S= $ ( ( 2 , 0 , 2 ),( 0 , 3 , 0 ),( 2 , 0 , -1 ) ) $
Si dica se per qualche valore di h le due matrici sono simili.
So che S è simmetrica allora è diagonalizzabile con una matrice ortogonale (e quindi è simile alla matrice diagonale D con gli autovalori sulla propria diagonale principale).
Dovrei ora vedere che A è diagonalizzabile (e quindi simile alla matrice diagonale D con autovalori sulla diagonale principale) e da questi due risultati giungere alla similitudine per transitività.
Il mio problema è: LA(endomorfismo associato alla matrice A) e semplice e quindi diagonalizzabile? Facendo il polinomio caratteristico di LA escludo h dalla discussione poichè A e diagonale!
Il risultato a cui sono giunto non mi convince dato che nei miei testi d'asame vi sono esercizi di questo tipo che poi si sviluppano facendo intendere che esiste qualche h per cui le matrici A e S sono simili...Le varianti a questo esercizio mi portano allo stesso punto
.Mi serve l'aiuto di qualche mente illuminata. Grazie!
Risposte
"fiipi":
Considerare due matrici a coefficienti in R:
A=$ ( ( 3 , h-1 , h ),( 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ e S= $ ( ( 2 , 0 , 2 ),( 0 , 3 , 0 ),( 2 , 0 , -1 ) ) $
Si dica se per qualche valore di h le due matrici sono simili.
Si verifica facilmente che le due matrici hanno gli stessi autovalori:
[tex]\lambda_1 = 3[/tex] (molt. algebrica = 2)
[tex]\lambda=-2[/tex] (molt, algebrica=1).
Osserviamo ora che [tex]S[/tex] è diagonalizzabile in quanto è una matrice simmetrica.
Analizziamo ora l'autospazio di [tex]A[/tex] relativo all'autovalore con molt. alg.=2, ovvero a $\lambda=3$:
[tex]A - 3\, I = \left( \begin{array}{ccc}
3-3 & h-1 & h \\[1mm]
0 & 3 -3 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & -2-3
\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc}
0 & h-1 & h \\[1mm]
0 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & -5
\end{array} \right)[/tex]
notiamo che il rango di [tex]A - 3\,I[/tex] è 1 (e quindi la dim. del ker è = 2)
se e solo se [tex]h = 1[/tex].
Quindi la matrice [tex]A[/tex] risulta diagonalizzabile
se e solo se [tex]h=1[/tex];
in definitiva le due matrici sono diagonalizzabili se e solo se [tex]h=1[/tex].
Magnifico. Grazie!
Non era così difficile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo