Esercizio sul duale.

[Yuyu_13]

Buongiorno. Ho il seguente esercizio riguardante il duale di uno spazio vettoriale.
Sia $V':=mbox{Hom}(V,K):={phi: V to K \quad | phi \quad mbox {lineare} }.$
Considerata l'applicazione bilineare

$<\cdot,\cdot>\quad : \quad (phi, v) in V'\timesV to :=phi(v)in K$

detta dualità canonica di $V$.
Devo dimostrare

$\quad=0 \quad forall phi in V' <=> v=0$

$\Leftarrow$
Sia $v=0$ allora si ha $\=\=phi(0)= 0$
$\Rightarrow$
Sia ${v_1,...,v_n}$ base di $V$ allora per ogni $v in V \rightarrow v=sum_(i=1)^n a_iv_i.$
Sia $phi in V'$ si ha
$0=\=\=phi(sum_(i=1)^na_iv_i)=sum_(i=1)^na_iphi(v_i).$
D'altra parte $phi$ è lineare quindi trasforma sistemi linearmente indipendenti in sistemi linearmente indipendenti. Poiché la base è in particolare un sistema linearmente indipendente si ha ${phi(v_1),...phi(v_n)}$ è un sistema linearmente indipendente e quindi

$sum_(i=1)^na_iphi(v_i)=0 to a_i=0 \quad forall i=1,...,n$.

Per cui si ha $v=a_1v_1+...+a_nv_n=0v_1+...+0v_n=0+...+0=0$

Può andare bene lo svolgimento ?

[j18eos]

\(\Leftarrow\)
Assolutamente corretta!

\(\Rightarrow\)

"Yuyu_13":[...] D'altra parte $ phi $ è lineare quindi trasforma sistemi linearmente indipendenti in sistemi linearmente indipendenti. [...]

Assolutamente errata!

Questa affermazione sarebbe vera se e solo se \(\displaystyle\varphi\) fosse iniettiva, e nel tuo caso equivarrebbe a chiedere che sia \(\displaystyle\dim\mathbb{V}=1\)...

Senza cambiare le tue notazioni, usa le forme lineari \(\underline{v}_i^{\vee}\): cosa accade?

[Yuyu_13]

"j18eos": \( \Rightarrow \)[quote="Yuyu_13"][...] D'altra parte $ phi $ è lineare quindi trasforma sistemi linearmente indipendenti in sistemi linearmente indipendenti. [...]

Assolutamente errata!
[/quote] Hai ragione!

"j18eos":\( \Leftarrow \)
Senza cambiare le tue notazioni, usa le forme lineari \( \underline{v}_i^{\vee} \): cosa accade?

Cosa sono? può darsi che lo conosco ma le indico in un altro modo.

[j18eos]

Sarebbe la base duale alla base che hai considerato... te come la indichi?

[Yuyu_13]

Buonasera. La base duale la indico con $phi_i$..ancora ci devo arrivare è immediatamente dopo questo esercizio.
Forse ho trovato un'altra strada senza passare per la base duale.

Devo dimostrare

$\=0_K \quad forall f in V' to v=0_V$

Per assurdo $v\ne 0_V$ allora $exists\ \bar{v} in V\setminus{0_V} \quad :\quad v+\bar{v}=0_V.$
Quindi per l'ipotesi di assurdo si deve avere $\ne 0_K$.
Dall'altra parte si ha
$\=^1$
$\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \quad \quad \ =^2 f(0_V)$
$\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \quad \quad \ =^3 0_K$

Dove
1) Posizione
2) Per come agisce $$
3) $f$ è lineare
Per cui siamo arrivati ad un assurdo. Pertanto necessariamente deve essere $v=0$. Cosi può andare bene ?

Comunque il duale brutta storia

[j18eos]

"Yuyu_13":[...] Quindi per l'ipotesi di assurdo si deve avere $\ne 0_K$. [...]

Perché?

...e se proprio non hai studiato la base duale, puoi sempre utilizzare le forme lineari:
\[
\__i:a_1\underline{e}_1+\dotsc+a_n\underline{e}_n\in\mathbb{V}\to a_i\in\mathbb{K}
\]
e concludere l'esercizio come ti suggerivo.