Esercizio sul cambiamento di base
\( B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)Ciao, vorrei un aiuto con questo esercizio:
Sia V= R2[x] la spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 2. Considerate le basi di V:
B1=B=(1,x, \( x^2 \) ) e B2=(1-x , \( x^2 \) , 1) determinare:
i) la matrice del cambio dalla base di B1 a B2 e quella da B2 a B1;
ii) le coordinate nella base B2 del polinomio f(x) = 2-x + \( x^2 \) ;
allora vorrei sapere se ho scritto bene le matric associate :
\( B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( B2= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Ora per determinare la matrice del cambio di base da B a B2 dovrei ridurre a scalini questa matrice (ovvero quella che ha per le prime tre colonne i vettori di B2 e l'ultima colonna un vettore di B):
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
dopo averla ridotta a scalini, l'ultima colonna corrisponderà alla prima colonna della matrice del cambio della base, e così via anche con gli altri due vettori . In questo modo mi trovo la matrice del cambio base da B a B2.
Spero di essere stata chiara, non sono sicura che questo metodo sia giusto e vorrei una conferma . Grazie mille in anticipo.
Sia V= R2[x] la spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 2. Considerate le basi di V:
B1=B=(1,x, \( x^2 \) ) e B2=(1-x , \( x^2 \) , 1) determinare:
i) la matrice del cambio dalla base di B1 a B2 e quella da B2 a B1;
ii) le coordinate nella base B2 del polinomio f(x) = 2-x + \( x^2 \) ;
allora vorrei sapere se ho scritto bene le matric associate :
\( B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( B2= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Ora per determinare la matrice del cambio di base da B a B2 dovrei ridurre a scalini questa matrice (ovvero quella che ha per le prime tre colonne i vettori di B2 e l'ultima colonna un vettore di B):
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
dopo averla ridotta a scalini, l'ultima colonna corrisponderà alla prima colonna della matrice del cambio della base, e così via anche con gli altri due vettori . In questo modo mi trovo la matrice del cambio base da B a B2.
Spero di essere stata chiara, non sono sicura che questo metodo sia giusto e vorrei una conferma . Grazie mille in anticipo.
Risposte
Non capisco bene cosa tu abbia fatto, non ho mai visto il tuo metodo, comunque.
Hai come base di \(V\), \( B_1= (1,x,x^2)=(v_1,v_2,v_3) \) e \( B_2 = (1-x,x^2,1)=(f_1,f_2,f_3) \).
Puoi vedere la matrice del cambiamento di base da \( B_1 \) a \( B_2 \) come la matrice associata all'applicazione lineare identità
\( \operatorname{id}_{V} : V \rightarrow V \)
I vettori di \( V \) dello spazio di partenza gli esprimi in base \( B_1 \) e lo stesso vettore nello spazio di arrivo lo esprimi con la base \( B_2 \) in questo modo ottieni la matrice di cambiamento di base da \( B_1 \) a \( B_2 \)
Ora per determinare la matrice dell'applicazione identità cosa fai? Prendi i vettori della base dello spazio di partenza e vedi qual'è la loro immagine e la esprimi con i vettori della base dello spazio d'arrivo.
\( \operatorname{id}_{V}(v_1)=f_3 \), \( \operatorname{id}_{V}(v_2)=-f_1 + f_3 \) e infine \( \operatorname{id}_{V}(v_3)=f_2 \)
Dunque la matrice della tua applicazione lineare è
\( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_1}^{B_2} = \begin{pmatrix}
0 & -1&0 \\
0 & 0& 1\\
1 & 1& 0
\end{pmatrix} \) questa applicazione lineare prende un vettore scritto in base \( B_1 \) e ti restituisce lo stesso vettore scritto in base \( B_2 \) dunque è la matrice di passaggio tra le tue basi.
Dunque per il cambiamento di base da \( B_2 \) a \( B_1 \) puoi ragionare in modo analogo. Ma stavolta devi scrivere la matrice di \( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_2}^{B_1} \)
Per il punto ii) Visto che hai un polinomio \( f(x)=2-x+x^2 \) lo puoi scrivere come un vettore \( w \) relativo alla tua base \( B_1 \) ovvero \( (w)_{B_1}=(2,-1,1) \). Ora applichi la tua applicazione lineare \( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_1}^{B_2} \cdot (w)_{B_1} = (\operatorname{id}_{V}(w))_{B_2} = (w)_{B_2} \)
Hai come base di \(V\), \( B_1= (1,x,x^2)=(v_1,v_2,v_3) \) e \( B_2 = (1-x,x^2,1)=(f_1,f_2,f_3) \).
Puoi vedere la matrice del cambiamento di base da \( B_1 \) a \( B_2 \) come la matrice associata all'applicazione lineare identità
\( \operatorname{id}_{V} : V \rightarrow V \)
I vettori di \( V \) dello spazio di partenza gli esprimi in base \( B_1 \) e lo stesso vettore nello spazio di arrivo lo esprimi con la base \( B_2 \) in questo modo ottieni la matrice di cambiamento di base da \( B_1 \) a \( B_2 \)
Ora per determinare la matrice dell'applicazione identità cosa fai? Prendi i vettori della base dello spazio di partenza e vedi qual'è la loro immagine e la esprimi con i vettori della base dello spazio d'arrivo.
\( \operatorname{id}_{V}(v_1)=f_3 \), \( \operatorname{id}_{V}(v_2)=-f_1 + f_3 \) e infine \( \operatorname{id}_{V}(v_3)=f_2 \)
Dunque la matrice della tua applicazione lineare è
\( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_1}^{B_2} = \begin{pmatrix}
0 & -1&0 \\
0 & 0& 1\\
1 & 1& 0
\end{pmatrix} \) questa applicazione lineare prende un vettore scritto in base \( B_1 \) e ti restituisce lo stesso vettore scritto in base \( B_2 \) dunque è la matrice di passaggio tra le tue basi.
Dunque per il cambiamento di base da \( B_2 \) a \( B_1 \) puoi ragionare in modo analogo. Ma stavolta devi scrivere la matrice di \( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_2}^{B_1} \)
Per il punto ii) Visto che hai un polinomio \( f(x)=2-x+x^2 \) lo puoi scrivere come un vettore \( w \) relativo alla tua base \( B_1 \) ovvero \( (w)_{B_1}=(2,-1,1) \). Ora applichi la tua applicazione lineare \( ( \operatorname{id}_{V} )_{B_1}^{B_2} \cdot (w)_{B_1} = (\operatorname{id}_{V}(w))_{B_2} = (w)_{B_2} \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo