Esercizio sul calcolo del gruppo di omologia singolare
Buongiorno a tutti,
Sono uno studente di matematica del secondo anno e questo semestre ho frequentato un corso di topologia algebrica.
Sto riscontrando dei problemi nel calcolo dei gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. Il professore, e le dispense che ci ha fornito, partono definendo il q-simplesso standard in $\mathbb{R}^q$ in questo modo:
$\Delta_q$ = { $\Sigma_(i=0)^q \lambda_i * E_i$ con $\lambda_i \>= 0$ e $\Sigma \lambda_i = 1$}
Dove $E_i$, per i che va da 1 a q, sono i punti con tutte le coordinate nulle tranne l' i-esima. Definisce poi il q-simplesso singolare in questo modo:
Dato uno spazio topologico X, si dice q-simplesso singolare in X un 'applicazione continua $\sigma$ : $\Delta_q -> X$.
Continua poi definendo:
Sia X uno spazio topologico; per ogni q$>=$0 si denoti con $S_q(X)$ il gruppo abeliano libero generato dai q-simplessi singolari in X.
Avendo già definito il complesso di catene C come un insieme ${(C_q, \partial_q )}_(q \in \mathbb{Z})$ con $C_q$ gruppo abeliano e $\partial_q : C_q -> C_(q-1)$ morfismo di gruppi tale che $\partial_q ° \partial_(q+1) = 0 \forall_q \in \mathbb{Z}$ ora definisce:
Gruppo dei q-cicli singolari $Z_q(X) = Ker\partial_q \subseteq \S_q(X)$
Gruppo dei q-bordi singolari $B_q(X) = Im\partial_(q+1) \subseteq \S_q(X)$
q-esimo gruppo di omologia singolare dello spazio topologico X $H_q(X) = (Z_q(X))/(B_q(X))$
Ora nelle dispense vi è un esempio che fatico a capire sotto diversi punti:
Sia X lo spazio topologico costituito da un solo punto {x}, calcoliamo i gruppi di omologia singolare di tale spazio.
Per ogni q $>=$ 0 esiste un'unica applicazione continua $\sigma_q : \Delta_q -> {x}$, quella costante, e quindi $S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0. Vediamo come agisce l'operatore di bordo $\partial_q$. Per ogni q=0, essendo $S_-1(X) = {0}$ avremo $\partial_0=0$. Per q$>=$1 abbiamo $S_q(X) = \mathbb{Z}$ e $S_(q-1)(X) = \mathbb{Z}$, e, per definizione: $\partial_q(\sigma_q) = \sigma_(q-1) - \sigma_(q-1) + \sigma_(q-1)...$. quindi $\partial_q(\sigma_q)$ sarà 0 per q dispari e $\sigma_(q-1)$ per q pari diverso da 0. Quindi, se q è pari e non nullo avremo $Im\partial_(q+1) = Ker \partial_q = 0$, mentre se q è dispari avremo $Im\partial_(q+1) = Ker \partial_q = \mathbb{Z}$. In entrambi i casi $H_q = 0$. Resta da esaminare il caso q= 0; in questo caso abbiamo che $Im\partial_1 = 0$ e $Ker \partial_0 = \mathbb{Z}$, e quindi $H_0(X)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}$.
I miei dubbi sono questi:
1) Perché $S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0?
2) Perché per q$>=$1 abbiamo $S_q(X) = \mathbb{Z}$ e $S_(q-1)(X) = \mathbb{Z}$ ?
Finora avevo affrontato i corsi di studio cercando di immaginare e visualizzare ciò che stava dietro alle idee ed alle definizioni, ma ora mi trovo in difficoltà perché non riesco a interpretare in maniera semplice la definizione di q-simplesso singolare, e men che meno dei gruppi abeliani generati dai q-simplessi singolari. Volevo perciò chiedere se qualcuno sapeva darmi un'idea intuitiva di questi concetti, o anche uno scopo, un perché sono stati introdotti questi concetti.
Grazie in anticipo.
Sono uno studente di matematica del secondo anno e questo semestre ho frequentato un corso di topologia algebrica.
Sto riscontrando dei problemi nel calcolo dei gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. Il professore, e le dispense che ci ha fornito, partono definendo il q-simplesso standard in $\mathbb{R}^q$ in questo modo:
$\Delta_q$ = { $\Sigma_(i=0)^q \lambda_i * E_i$ con $\lambda_i \>= 0$ e $\Sigma \lambda_i = 1$}
Dove $E_i$, per i che va da 1 a q, sono i punti con tutte le coordinate nulle tranne l' i-esima. Definisce poi il q-simplesso singolare in questo modo:
Dato uno spazio topologico X, si dice q-simplesso singolare in X un 'applicazione continua $\sigma$ : $\Delta_q -> X$.
Continua poi definendo:
Sia X uno spazio topologico; per ogni q$>=$0 si denoti con $S_q(X)$ il gruppo abeliano libero generato dai q-simplessi singolari in X.
Avendo già definito il complesso di catene C come un insieme ${(C_q, \partial_q )}_(q \in \mathbb{Z})$ con $C_q$ gruppo abeliano e $\partial_q : C_q -> C_(q-1)$ morfismo di gruppi tale che $\partial_q ° \partial_(q+1) = 0 \forall_q \in \mathbb{Z}$ ora definisce:
Gruppo dei q-cicli singolari $Z_q(X) = Ker\partial_q \subseteq \S_q(X)$
Gruppo dei q-bordi singolari $B_q(X) = Im\partial_(q+1) \subseteq \S_q(X)$
q-esimo gruppo di omologia singolare dello spazio topologico X $H_q(X) = (Z_q(X))/(B_q(X))$
Ora nelle dispense vi è un esempio che fatico a capire sotto diversi punti:
Sia X lo spazio topologico costituito da un solo punto {x}, calcoliamo i gruppi di omologia singolare di tale spazio.
Per ogni q $>=$ 0 esiste un'unica applicazione continua $\sigma_q : \Delta_q -> {x}$, quella costante, e quindi $S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0. Vediamo come agisce l'operatore di bordo $\partial_q$. Per ogni q=0, essendo $S_-1(X) = {0}$ avremo $\partial_0=0$. Per q$>=$1 abbiamo $S_q(X) = \mathbb{Z}$ e $S_(q-1)(X) = \mathbb{Z}$, e, per definizione: $\partial_q(\sigma_q) = \sigma_(q-1) - \sigma_(q-1) + \sigma_(q-1)...$. quindi $\partial_q(\sigma_q)$ sarà 0 per q dispari e $\sigma_(q-1)$ per q pari diverso da 0. Quindi, se q è pari e non nullo avremo $Im\partial_(q+1) = Ker \partial_q = 0$, mentre se q è dispari avremo $Im\partial_(q+1) = Ker \partial_q = \mathbb{Z}$. In entrambi i casi $H_q = 0$. Resta da esaminare il caso q= 0; in questo caso abbiamo che $Im\partial_1 = 0$ e $Ker \partial_0 = \mathbb{Z}$, e quindi $H_0(X)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}$.
I miei dubbi sono questi:
1) Perché $S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0?
2) Perché per q$>=$1 abbiamo $S_q(X) = \mathbb{Z}$ e $S_(q-1)(X) = \mathbb{Z}$ ?
Finora avevo affrontato i corsi di studio cercando di immaginare e visualizzare ciò che stava dietro alle idee ed alle definizioni, ma ora mi trovo in difficoltà perché non riesco a interpretare in maniera semplice la definizione di q-simplesso singolare, e men che meno dei gruppi abeliani generati dai q-simplessi singolari. Volevo perciò chiedere se qualcuno sapeva darmi un'idea intuitiva di questi concetti, o anche uno scopo, un perché sono stati introdotti questi concetti.
Grazie in anticipo.
Risposte
"uforobot":
$S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0.
Forse volevi scrivere \(S_q (X) = \left \langle \sigma_q \right \rangle \cong \mathbb{Z}\)?
"uforobot":
Per definizione: $\partial_q(\sigma_q) = \sigma_(q-1) - \sigma_(q-1) + \sigma_(q-1)...$
Direi che c'è qualcosa che non va in questa definizione. Non ha molto senso come scrittura.
Per quanto riguarda quel che scrivi dopo, le conclusioni sono giuste ma faccio fatica a capire quello che hai scritto. Hai un link alle dispense del tuo prof, giusto per capire le notazioni/convenzioni che usa e per risponderti coerentemente con quelle?
"uforobot":
1) Perché $S_q(X) = \mathbb{Z}_(<\sigma_q>)$ per ogni q$>=$0?
Perché se il tuo spazio è costituito da un solo punto, in ogni dimensione non nulla esiste un solo simplesso singolare, e il gruppo abeliano libero generato da un elemento è isomorfo a \(\mathbb{Z}\).
"uforobot":
2) Perché per q$>=$1 abbiamo $S_q(X) = \mathbb{Z}$ e $S_(q-1)(X) = \mathbb{Z}$ ?
Prima di rispondere a questa domanda vorrei vedere esplicitamente come ti è stato definito l'operatore di bordo.
"uforobot":
non riesco a interpretare in maniera semplice la definizione di q-simplesso singolare
Se un q-simplesso è un "triangolo q-dimensionale" un q-simplesso singolare è una mappa continua che manda un q-simplesso in uno spazio topologico. Puoi vedere (in prima istanza, tanto per stimolare l'intuito) l'immagine di un simplesso singolare come un tetraedro molliccio immerso nel tuo spazio topologico.
"uforobot":
gruppi abeliani generati dai q-simplessi singolari.
Hai una definizione (innanzitutto puramente algebrica) di gruppo libero, o di gruppo abeliano libero?
Il link del corso è questo:
http://www.science.unitn.it/~occhetta/T ... a_III.html
Dove puoi trovare gli appunti sotto la voce dispensa.
Qui si trovano anche le riposte alle altre domande, infatti si dà la definizione di gruppo abeliano libero. Un gruppo abeliano si dice libero se ammette una base, ossia un sottoinsieme di generatori libero.
Per quanto riguarda il q-simplesso singolare comincio a capire, l'immagine del tetraedro molliccio è molto intuitiva.
http://www.science.unitn.it/~occhetta/T ... a_III.html
Dove puoi trovare gli appunti sotto la voce dispensa.
Qui si trovano anche le riposte alle altre domande, infatti si dà la definizione di gruppo abeliano libero. Un gruppo abeliano si dice libero se ammette una base, ossia un sottoinsieme di generatori libero.
Per quanto riguarda il q-simplesso singolare comincio a capire, l'immagine del tetraedro molliccio è molto intuitiva.
"uforobot":
Un gruppo abeliano si dice libero se ammette una base, ossia un sottoinsieme di generatori libero.
Sì, ma si può fare anche al contrario, è questo il bello. Se tu hai un insieme generico (ad esempio un insieme i cui elementi sono Uforobot ed Epimenide) e per qualche ragione vuoi tirare su "il più piccolo" gruppo abeliano che contiene questi due elementi, dovrai avere un insieme che contiene tutte le potenze intere di Uforobot, tutte le potenze intere di Epimenide ed i rispettivi prodotti, inoltre su questo insieme deve valere la proprietà commutativa del prodotto. Tale insieme è il gruppo abeliano libero generato da Uforobot ed Epimenide, e solitamente si indica con \(\left \langle \rm Uforobot, \ Epimenide \right \rangle\). Ovviamente le operazioni che avvengono all'interno di questo gruppo sono in un certo senso puramente formali. È un facile esercizio dimostrare che il gruppo abeliano libero con un solo generatore è isomorfo a \(\mathbb{Z}\).
Ti consiglio di riguardare la definizione di operatore di bordo, quella data dal tuo prof non è quella che scrivi tu, magari dopo averla riguardata il tuo dubbio si risolve da solo
Mi era scappata una definizione:
Dato un q-simplesso singolare $\sigma$, definiamo:
$\partial_q(\sigma) = \Sigma_(i=0)^q(-1)^i*\sigma^((i))$
e lo estendiamo per linearità ad un morfismo $\partial_q : S_q(X) -> S_(q-1)(X)$ :
$\partial_q(\Sigma n_j\sigma_j) = \Sigma n_j\partial_q(\sigma_j)$
Questo spiega molte cose!
Ora ci ragiono un po' ma penso di aver ingranato la strada giusta. Grazie per le risposte e la celerità.
Dato un q-simplesso singolare $\sigma$, definiamo:
$\partial_q(\sigma) = \Sigma_(i=0)^q(-1)^i*\sigma^((i))$
e lo estendiamo per linearità ad un morfismo $\partial_q : S_q(X) -> S_(q-1)(X)$ :
$\partial_q(\Sigma n_j\sigma_j) = \Sigma n_j\partial_q(\sigma_j)$
Questo spiega molte cose!
Ora ci ragiono un po' ma penso di aver ingranato la strada giusta. Grazie per le risposte e la celerità.
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