Esercizio sui vettori
Ciao a tutti,
venerdì ho esame di metodi quantitativi per l'analisi economica, che poi in realtà sarebbe matematica semplice e pura, senza alcun collegamento con l'economia.
Sto svolgendo esercizi sulle prove d'esame passate e ho molte difficoltà sugli esercizi con i vetori, sul libro non riesco a trovanulla che elimini le mie carenze conoscitive, e neppure in vari siti internet...potete aiutarmi voi per favore?
Uno degli esercizi dice:
Dare la definizione di vettori linearmente dipendenti in R^n.
Siano dati i vettori:
x^1= k
1
0
x^2= 3
-k
4
x^3= 1
0
1
x^4= -2
3
-k
Stabilire al variare del parametro k, quanti fradi essi sono linearmente indipendenti, motivando la risp.
La seconda parte dell'esercizio non la indico perchè sono capace di risolverlo.
La soluzione è questa:
Innanzitutto si osservi che in R^3 non vi possono essere più di 3 vettori linearmente indipendenti. (...Questo per il fatto che ogni vettore è composto a 3 elementi?)
Inoltre poichè
k 3 1
det 1 -k 0 = -k^2+4-3 diverso da 0
0 4 1
se k diverso +-1
per k diverso da +-1 i vettori linearmente indipendenti sono 3, mentre per k=+-1 essi sono almeno 2, essendo
1 -k
0 4 il det è diverso da 0 per ogni k.
Poi pone k=1, calcola il det della matrice formata da vettori escluso x^1 e trova 3 vettori linearmente indipendenti.
per k=-1,secondo l'algoritmo di Kronecker poss escludere che il rango della matrice dia 2.
1) non capisco come si faccia a capire qunti sono i vettori linearm indip;
2) non so neppure cosa sia e come si calcoli l'algoritmo di kronecker.
Purtroppo il libro su cui studio non è fatto bene, si concentra più sulla matematica finanziaria, e navigando su internet non ho trovato nulla che potesse aiutarmi (di solito faccio affidamento su wikipedia ma non in questo caso).
Se potete aiutarmi ve ne sarei veramente grata! Grazie.
Mi scuso anche per il modo in cui ho trascritto ex.
venerdì ho esame di metodi quantitativi per l'analisi economica, che poi in realtà sarebbe matematica semplice e pura, senza alcun collegamento con l'economia.
Sto svolgendo esercizi sulle prove d'esame passate e ho molte difficoltà sugli esercizi con i vetori, sul libro non riesco a trovanulla che elimini le mie carenze conoscitive, e neppure in vari siti internet...potete aiutarmi voi per favore?
Uno degli esercizi dice:
Dare la definizione di vettori linearmente dipendenti in R^n.
Siano dati i vettori:
x^1= k
1
0
x^2= 3
-k
4
x^3= 1
0
1
x^4= -2
3
-k
Stabilire al variare del parametro k, quanti fradi essi sono linearmente indipendenti, motivando la risp.
La seconda parte dell'esercizio non la indico perchè sono capace di risolverlo.
La soluzione è questa:
Innanzitutto si osservi che in R^3 non vi possono essere più di 3 vettori linearmente indipendenti. (...Questo per il fatto che ogni vettore è composto a 3 elementi?)
Inoltre poichè
k 3 1
det 1 -k 0 = -k^2+4-3 diverso da 0
0 4 1
se k diverso +-1
per k diverso da +-1 i vettori linearmente indipendenti sono 3, mentre per k=+-1 essi sono almeno 2, essendo
1 -k
0 4 il det è diverso da 0 per ogni k.
Poi pone k=1, calcola il det della matrice formata da vettori escluso x^1 e trova 3 vettori linearmente indipendenti.
per k=-1,secondo l'algoritmo di Kronecker poss escludere che il rango della matrice dia 2.
1) non capisco come si faccia a capire qunti sono i vettori linearm indip;
2) non so neppure cosa sia e come si calcoli l'algoritmo di kronecker.
Purtroppo il libro su cui studio non è fatto bene, si concentra più sulla matematica finanziaria, e navigando su internet non ho trovato nulla che potesse aiutarmi (di solito faccio affidamento su wikipedia ma non in questo caso).
Se potete aiutarmi ve ne sarei veramente grata! Grazie.
Mi scuso anche per il modo in cui ho trascritto ex.
Risposte
Ciao,
ti scrivo un pò di cose per avere un quadro generale:
due vettori $v_(1)$ e $v_(2)$ si dicono linearmente dipendenti se, data la relazione:
$ a*v_(1) + b*v_(2) = 0 $
è possibile trovare valori di a e b non tutti nulli che diano come risultato il vettore nullo. Se invece sono linearmente indipendenti, a e b dovranno per forza essere entrambi nulli.
In pratica poi, due vettori sono linearmente dipendenti se sono proporzionali.
Concetto Importante: il determinante di una matrice è nullo se la matrice contiene due o più vettori lin. dip.
Nel tuo esercizio poi, visto che hai dei vettori parametrizzati con k, devi per forza porre il determinante della matrice formata dai vettori dati uguale a 0. Otterrai i valori di k per i quali è possibile avere dei vettori lin. dip.
A questo punto sostituisci quei valori e poi...trovi il RANGO della matrice che ottieni.
Il rango, per definizione è il numero di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice.
Per calcolarlo, devi ridurre la matrice a gradini:
per es, con k = 1:
$[(1, 3, 1),(1, -1, 0),(0, 4, 1)]$
1° riga meno la 2° e metto nella 2°:
$[(1, 3, 1),(0, 4, 1),(0, 4, 1)]$
gli ultimi due vettori sono uguali, pertanto elimini 1 e ti viene fuori che il rango è 2 e quindi i vettori lin. ind sono 2.
Poi altrimenti utilizzare il teorema degli orlati come fa il libro.
Ultima cosa: se hai una serie di vettori di $R^3$, il numero max di vettori lin ind sarà sempre < o uguale a 3 perchè una base dello spazio $R^3$, ossia un insieme di vettori linearmente indipendenti, è sempre formata da 3 vettori.
Spero di essere stato utile e chiaro.
Ciao
Dymios
ti scrivo un pò di cose per avere un quadro generale:
due vettori $v_(1)$ e $v_(2)$ si dicono linearmente dipendenti se, data la relazione:
$ a*v_(1) + b*v_(2) = 0 $
è possibile trovare valori di a e b non tutti nulli che diano come risultato il vettore nullo. Se invece sono linearmente indipendenti, a e b dovranno per forza essere entrambi nulli.
In pratica poi, due vettori sono linearmente dipendenti se sono proporzionali.
Concetto Importante: il determinante di una matrice è nullo se la matrice contiene due o più vettori lin. dip.
Nel tuo esercizio poi, visto che hai dei vettori parametrizzati con k, devi per forza porre il determinante della matrice formata dai vettori dati uguale a 0. Otterrai i valori di k per i quali è possibile avere dei vettori lin. dip.
A questo punto sostituisci quei valori e poi...trovi il RANGO della matrice che ottieni.
Il rango, per definizione è il numero di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice.
Per calcolarlo, devi ridurre la matrice a gradini:
per es, con k = 1:
$[(1, 3, 1),(1, -1, 0),(0, 4, 1)]$
1° riga meno la 2° e metto nella 2°:
$[(1, 3, 1),(0, 4, 1),(0, 4, 1)]$
gli ultimi due vettori sono uguali, pertanto elimini 1 e ti viene fuori che il rango è 2 e quindi i vettori lin. ind sono 2.
Poi altrimenti utilizzare il teorema degli orlati come fa il libro.
Ultima cosa: se hai una serie di vettori di $R^3$, il numero max di vettori lin ind sarà sempre < o uguale a 3 perchè una base dello spazio $R^3$, ossia un insieme di vettori linearmente indipendenti, è sempre formata da 3 vettori.
Spero di essere stato utile e chiaro.
Ciao
Dymios
Ciao!
Prima di tutto ti ringrazio per la tua disponibilità nel risp.
Venendo all'esercizio, il mio problema non è tanto la teoria ma proprio l'esecuzione stessa del dell'ex perchè non sò da dove iniziare, ed in realtà neppure come continuare.
Ora, nonho capito bene la spiegazione, non di certo perchè mi hai spiegato male, ma perchè trovo delle discordanze.
Tu hai posto k=1, hai usato i vettori x^1, x^2, x^3 e hai trovato 2 vettori linearmente indip.
Il risultato della prova d'esame che ho sott'occhio usa vettori x^2, x^3, x^4 e trova 3 vettori.
Cosa faccio?
Prima di tutto ti ringrazio per la tua disponibilità nel risp.
Venendo all'esercizio, il mio problema non è tanto la teoria ma proprio l'esecuzione stessa del dell'ex perchè non sò da dove iniziare, ed in realtà neppure come continuare.
Ora, nonho capito bene la spiegazione, non di certo perchè mi hai spiegato male, ma perchè trovo delle discordanze.
Tu hai posto k=1, hai usato i vettori x^1, x^2, x^3 e hai trovato 2 vettori linearmente indip.
Il risultato della prova d'esame che ho sott'occhio usa vettori x^2, x^3, x^4 e trova 3 vettori.
Cosa faccio?
Posso aver sbagliato. C'è da considerare che per questo tipo di esercizi comunque ci sono diversi metodi per farli quindi a volte le soluzioni possono apparire diverse da quelle del libro, ma in realtà sono le stesse:
Ricapitoliamo tutto:
i vettori sono:
$x_(1) (k, 1, 0)$
$x_(2) (3, -k, 4)$
$x_(3) (1, 0, 1)$
$x_(4) (-2, 3, -k)$
Se consideriamo la matrice ottenuta con questi vettori si ha:
$A:[(k, 1, 0),(3, -k, 4),(1, 0, 1),(-2, 3, -k)]$
Da qui si mette in luce che il rango di questa matrice potrà essere al max 3 e quindi ci potranno essere al max 3 vettori lin. indipendenti.
Utilizzando il teorema degli orlati, il rango di A è 3 se è possibile trovare un minore di ordine 3 non nullo e poi sono nulli o non esistono tutti i minori di ordine superiore. In pratica, il rango di A è 3 se:
$[(k,1,0),(3,-k,4),(1,0,1)]!=0$
Si ottiene: $k^2 - 1 != 0 => k != +-1$
Pertanto, per $k != +- 1$ si ottengono 3 vettori lin. indipendenti (i primi 3)
Per $k = 1$ la matrice diventa:
$[(1,1,0),(3,-1,4),(1,0,1),(-2,3,-1)]$
Rango 3 perchè il minore di ordine 3 formato dalle ultime 3 righe è diverso da 0. Perciò i vettori L.I. sono 3 (gli ultimi 3).
Per $k = -1$ la matrice diventa:
$[(-1,1,0),(3,1,4),(1,0,1),(-2,3,1)]$
Rango 2 perchè il minore di ordine 2 $[(-1,1),(3,1)]!=0$ quindi i vettori L.I. sono 2 (i primi 2).
Ciao
Dymios
Ricapitoliamo tutto:
i vettori sono:
$x_(1) (k, 1, 0)$
$x_(2) (3, -k, 4)$
$x_(3) (1, 0, 1)$
$x_(4) (-2, 3, -k)$
Se consideriamo la matrice ottenuta con questi vettori si ha:
$A:[(k, 1, 0),(3, -k, 4),(1, 0, 1),(-2, 3, -k)]$
Da qui si mette in luce che il rango di questa matrice potrà essere al max 3 e quindi ci potranno essere al max 3 vettori lin. indipendenti.
Utilizzando il teorema degli orlati, il rango di A è 3 se è possibile trovare un minore di ordine 3 non nullo e poi sono nulli o non esistono tutti i minori di ordine superiore. In pratica, il rango di A è 3 se:
$[(k,1,0),(3,-k,4),(1,0,1)]!=0$
Si ottiene: $k^2 - 1 != 0 => k != +-1$
Pertanto, per $k != +- 1$ si ottengono 3 vettori lin. indipendenti (i primi 3)
Per $k = 1$ la matrice diventa:
$[(1,1,0),(3,-1,4),(1,0,1),(-2,3,-1)]$
Rango 3 perchè il minore di ordine 3 formato dalle ultime 3 righe è diverso da 0. Perciò i vettori L.I. sono 3 (gli ultimi 3).
Per $k = -1$ la matrice diventa:
$[(-1,1,0),(3,1,4),(1,0,1),(-2,3,1)]$
Rango 2 perchè il minore di ordine 2 $[(-1,1),(3,1)]!=0$ quindi i vettori L.I. sono 2 (i primi 2).
Ciao
Dymios
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