Esercizio sui vettori
Ragazzi potreste aiutarmi a risolvere questo problema? io ho in mente più o meno cosa dovrei fare ma non riesco a metterlo in pratica...Il problema é questo: Determinare i vettori di V3 aventi modulo 3, complanari con i vettori u=i+j e v=3j+2k e che formano un angolo di 3/4 di pigreco con il vettore w=i-k.
il risultato é x1=-i+2j+2k e x2=-(27/11)i-(18/11)j+(6/11)k
io ho pensato che per la condizione di essere complanari devo impostare una matrice 3x3 e considerare il caso in cui questa ha rango uguale a 2 per far si che i vettori siano linearmente dipendenti. Per le altre condizioni invece non so come fare perché mi blocco sin dall'impostazione dell'esercizio. Mi potreste gentilmente aiutare a capire come fare? Grazie in anticipo
il risultato é x1=-i+2j+2k e x2=-(27/11)i-(18/11)j+(6/11)k
io ho pensato che per la condizione di essere complanari devo impostare una matrice 3x3 e considerare il caso in cui questa ha rango uguale a 2 per far si che i vettori siano linearmente dipendenti. Per le altre condizioni invece non so come fare perché mi blocco sin dall'impostazione dell'esercizio. Mi potreste gentilmente aiutare a capire come fare? Grazie in anticipo
Risposte
Chiama genericamente $v=(x,y,z)$ il vettore che si vuole trovare. Per determinare $v$ occorrono quindi 3 equazioni nelle incognite $x,y,z$ . Una prima equazione la trovi imponendo la condizione di complanarità che si ottiene ponendo a zero il determinante della matrice che ha per righe le componenti deì vettori in questione :
\(\displaystyle det \begin{pmatrix}x&y&z\\1&1&0\\0&3&2\end{pmatrix} =0\)
da cui :
$(1) 2x-2y+3z=0$
Una seconda equazione si può ricavare imponendo la condizione $|v|=3$ da cui :
$(2) x^2+y^2+z^2=9$
La terza ed ultima relazione si crea ricordando che l'angolo $phi$ tra due vettori $v,u$ si ottiene dalla formula :
${v cdot u}/{|v| |u| }=cos phi$ [il "." indica il prodotto scalare ordinario tra vettori ]
Nel nostro caso è : $v=(x,y,z), u=(1,0,-1), |v|= 3,|u| =sqrt 2,phi=3/4 pi$
e quindi applicando la precedente formula si ha:
${x-z}/{3sqrt2}=-1/{sqrt 2}$
da cui la terza relazione :
$(3) x-z+3=0$
Mettendo insieme $(1),(2),(3)$ si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}2x-2y+3z=0\\x^2+y^2+z^2=9\\x-z+3=0\end{cases} \)
risolto il quale troverai le due soluzioni richieste.
\(\displaystyle det \begin{pmatrix}x&y&z\\1&1&0\\0&3&2\end{pmatrix} =0\)
da cui :
$(1) 2x-2y+3z=0$
Una seconda equazione si può ricavare imponendo la condizione $|v|=3$ da cui :
$(2) x^2+y^2+z^2=9$
La terza ed ultima relazione si crea ricordando che l'angolo $phi$ tra due vettori $v,u$ si ottiene dalla formula :
${v cdot u}/{|v| |u| }=cos phi$ [il "." indica il prodotto scalare ordinario tra vettori ]
Nel nostro caso è : $v=(x,y,z), u=(1,0,-1), |v|= 3,|u| =sqrt 2,phi=3/4 pi$
e quindi applicando la precedente formula si ha:
${x-z}/{3sqrt2}=-1/{sqrt 2}$
da cui la terza relazione :
$(3) x-z+3=0$
Mettendo insieme $(1),(2),(3)$ si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}2x-2y+3z=0\\x^2+y^2+z^2=9\\x-z+3=0\end{cases} \)
risolto il quale troverai le due soluzioni richieste.
anche se con un po di ritardo grazie mille per la risposta che é stata molto precisa 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo