Esercizio sui Sottospazi: AIUTO!
Vi pongo questo problema, che ho provato a svolgere, ma non sono per niente sicuro dei risultati, e quindi se c'è, cortesemente, un anima pia che mi spiega passo per passo come va svolto, ve ne sarei grato 
L'esercizio è questo:
Siano U e W i sottospazi di $ R4 $ cosi definiti:
U=L((1,0,1,0),(1,-1,1,1),(1,1,1,-1)),
W: $ { ( x+y-t=0 ),( y+t=0 ),( 2x+y-3t=0 ):} $
Determinare una base per ciascuno dei sottospazi W, U+W e $ U nn W $
Premetto un paio di cose, ho calcolato il determinante, che mi risulta uguale a 0, ho trovato le soluzioni del sistema, operando tramite il metodo di Gauss. I miei risultati sono x=8, y=-4, z=4..ora come faccio a scrivere dei vettori in W tali che io possa continuare a svolgere l'esercizio?
Vi prego aiutatemi è importante! Ho un esame mercoledi ed ho bisogno di queste cose! grazie in anticipo
L'esercizio è questo:
Siano U e W i sottospazi di $ R4 $ cosi definiti:
U=L((1,0,1,0),(1,-1,1,1),(1,1,1,-1)),
W: $ { ( x+y-t=0 ),( y+t=0 ),( 2x+y-3t=0 ):} $
Determinare una base per ciascuno dei sottospazi W, U+W e $ U nn W $
Premetto un paio di cose, ho calcolato il determinante, che mi risulta uguale a 0, ho trovato le soluzioni del sistema, operando tramite il metodo di Gauss. I miei risultati sono x=8, y=-4, z=4..ora come faccio a scrivere dei vettori in W tali che io possa continuare a svolgere l'esercizio?
Vi prego aiutatemi è importante! Ho un esame mercoledi ed ho bisogno di queste cose! grazie in anticipo
Risposte
Non si capisce niente nella spiegazione di ciò che hai fatto.
Consideriamo le eq. di $W$: risolvendo il sistema (col metodo che ti pare: Rouchè Capelli, semplici operazioni come sostituzione o eliminazione...) si vede che è indeterminato con $\infty^1$ soluzionie. Scegliamo una variabile come parametro libero ($t$ per esempio) e otteniamo:
$\{(x=2t),(y=-t):}$
Dunque $W=<(2,-1,0,1),(0,0,1,0)>$
Il primo vettore l'ho ottenuto dal sistema, il secondo l'ho messo perché la variabile $z$ non compariva nel sistema, quindi significa che è completamente libera di variare a suo piacimento.
Questa naturalmente è già una base.
Ora prova a finirlo tu...
Paola
Consideriamo le eq. di $W$: risolvendo il sistema (col metodo che ti pare: Rouchè Capelli, semplici operazioni come sostituzione o eliminazione...) si vede che è indeterminato con $\infty^1$ soluzionie. Scegliamo una variabile come parametro libero ($t$ per esempio) e otteniamo:
$\{(x=2t),(y=-t):}$
Dunque $W=<(2,-1,0,1),(0,0,1,0)>$
Il primo vettore l'ho ottenuto dal sistema, il secondo l'ho messo perché la variabile $z$ non compariva nel sistema, quindi significa che è completamente libera di variare a suo piacimento.
Questa naturalmente è già una base.
Ora prova a finirlo tu...
Paola
Cosa non si capiva? Provo a essere più chiaro, ma intanto grazie per l'aiuto
Praticamente io ho semplicemente ridotto la matrice con il metodo di gauss-jordan, e dalla matrice ridotta ne è uscito chel'ultima riga era composta da due vettori nulli e da un vettore di valore 4, che quindi diventava il valore dell'incognita t.
A questo punto y diventava come hai scritto tu -t ma ad x io non dò il valore di 2t ma x= -y+t, ma alla fine è la stessa cosa che hai scritto tu perchè il risultato è lo stesso
Il determinante invece della matrice incompleta, quella formata dalle incognite, mi risulta nullo, e quindi data la teoria, il sistema non ammette una sola soluzione spero di essere stato chiero
una curiosità, anche se non appare il sistema z, devo comunque sempre tenerlo presente? E comunque non mi è chiara una cosa, perchè t risulta zero? o quello zero che vedo nel primo vettore riguarda z, e quindi t nel primo vettore è 1? ti ringrazio in anticipo
EDIT. Mi è sorto un dubbio...Se U ha 3 vettori, non dovrebbe averne 3 anche W? O non importa? Magari è una domanda stupida però è sempre meglio chiedere hehe
Praticamente io ho semplicemente ridotto la matrice con il metodo di gauss-jordan, e dalla matrice ridotta ne è uscito chel'ultima riga era composta da due vettori nulli e da un vettore di valore 4, che quindi diventava il valore dell'incognita t.
A questo punto y diventava come hai scritto tu -t ma ad x io non dò il valore di 2t ma x= -y+t, ma alla fine è la stessa cosa che hai scritto tu perchè il risultato è lo stesso
Il determinante invece della matrice incompleta, quella formata dalle incognite, mi risulta nullo, e quindi data la teoria, il sistema non ammette una sola soluzione
spero di essere stato chiero una curiosità, anche se non appare il sistema z, devo comunque sempre tenerlo presente? E comunque non mi è chiara una cosa, perchè t risulta zero? o quello zero che vedo nel primo vettore riguarda z, e quindi t nel primo vettore è 1? ti ringrazio in anticipo
EDIT. Mi è sorto un dubbio...Se U ha 3 vettori, non dovrebbe averne 3 anche W? O non importa? Magari è una domanda stupida però è sempre meglio chiedere hehe
Allora ho capito il primo vettore da dove l'hai pescato, ma ancora non riesco a capire il secondo come mai hai lo hai scelto cosi, con x, y e t= 0 e z= 1, cortesemente mi illumineresti hehe lo so magari sono cose stupide, di facile comprensione ma prevenire e meglio che curare ahah intanto svolgo il restante esercizio e magari poi ti spiego come ho fatto
ok, mi dichiaro sconfitto uff ho difficoltà a calcolare la base di U, un'anima pia che mi aiuta, passo dopo passo a calcolarla? grazie
Nessuno che può aiutarmi?
Un aiutino piccino piccino? Grazie
Prima di tutto verifichiamo la dimensione di U per assicurarci che i tre vettori descritti siano effettivamente una base:
calcoliamo $ rg((1,0,1,0),(1,-1,1,1),(1,1,1,-1)) $ e otteniamo che è uguale a 2, infatti $ 2*(1,0,1,0)=(1,-1,1,1 ) + ( 1 , 1 , 1 , -1 ) $ quindi non sono tutti linearmente indipendenti:
U ha dimensione 2 e una sua base può essere ad esempio : $ B_U = {(1,0,1,0);(1,-1,1,1)} $.
Per determinare ora una base di W seguiamo il seguente procedimento :
Riscriviamo il nostro sottospazio come $ W = { (x,y,z,t) in R^4 | x+y-t=x+t=2x+y-3t=0 } $ .
Ora, dobbiamo cercare di eliminare tutte le incognite possibile tramite sostituzioni, ad esempio, sappiamo che x+t=0, allora x=-t, e con questo possiamo eliminare tutte le incognite x sostituendole con -t :
$ W= {(-t,y,z,t)in R^4 | -t+y-t=-2t+y-3t=0} = {(-t,y,z,t)in R^4 | -2t+y=-5t+y=0}$.
Ora dalle 2 equazioni rimanenti possiamo ricavare che t=y=0, dunque riscriviamo nuovamente il sottospazio :
$ W= {(0,0,z,0) | z in R } = { z (0,0,1,0) | z in R } rarr W=<(0,0,1,0)> $
Chiaro il procedimento?
A questo punto se è tutto chiaro calcolare gli altri 2 sottospazi è semplice :
$ U+W $ risulta semplicemente essere generato dall'unione dei generatori di U e W, che sono evidentemente linearmente indipendenti, e ha dimensione 3 :
$U+W=<(1,0,1,0),(1,-1,1,1),(0,0,1,0)>$.
Con grassman troviamo la dimensione di $U nn W$
$dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(UnnW)$
$2+1=3+dim(UnnW)$
$dim(UnnW)=0$
dunque l'intersezione di U e W è sottospazio banale di $R^4$
Spero di non aver sbagliato calcoli, se ci sono chiarimenti chiedi pure...:)
calcoliamo $ rg((1,0,1,0),(1,-1,1,1),(1,1,1,-1)) $ e otteniamo che è uguale a 2, infatti $ 2*(1,0,1,0)=(1,-1,1,1 ) + ( 1 , 1 , 1 , -1 ) $ quindi non sono tutti linearmente indipendenti:
U ha dimensione 2 e una sua base può essere ad esempio : $ B_U = {(1,0,1,0);(1,-1,1,1)} $.
Per determinare ora una base di W seguiamo il seguente procedimento :
Riscriviamo il nostro sottospazio come $ W = { (x,y,z,t) in R^4 | x+y-t=x+t=2x+y-3t=0 } $ .
Ora, dobbiamo cercare di eliminare tutte le incognite possibile tramite sostituzioni, ad esempio, sappiamo che x+t=0, allora x=-t, e con questo possiamo eliminare tutte le incognite x sostituendole con -t :
$ W= {(-t,y,z,t)in R^4 | -t+y-t=-2t+y-3t=0} = {(-t,y,z,t)in R^4 | -2t+y=-5t+y=0}$.
Ora dalle 2 equazioni rimanenti possiamo ricavare che t=y=0, dunque riscriviamo nuovamente il sottospazio :
$ W= {(0,0,z,0) | z in R } = { z (0,0,1,0) | z in R } rarr W=<(0,0,1,0)> $
Chiaro il procedimento?
A questo punto se è tutto chiaro calcolare gli altri 2 sottospazi è semplice :
$ U+W $ risulta semplicemente essere generato dall'unione dei generatori di U e W, che sono evidentemente linearmente indipendenti, e ha dimensione 3 :
$U+W=<(1,0,1,0),(1,-1,1,1),(0,0,1,0)>$.
Con grassman troviamo la dimensione di $U nn W$
$dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(UnnW)$
$2+1=3+dim(UnnW)$
$dim(UnnW)=0$
dunque l'intersezione di U e W è sottospazio banale di $R^4$
Spero di non aver sbagliato calcoli, se ci sono chiarimenti chiedi pure...:)
Matteo grazie *_* la base di W l'avevo già calcolata, infatti mi aveva illuminato già paola precedentemente, ma dal tuo procedimento ho potuto capire da dove uscisse il secondo vettore di W che non mi era chiaro eheh ora continuo l'esercizio e ti farò sapere grazie mille
grazie mille
figurati, se hai altri dubbi posta pure...
Matteo durante il tuo procedimento forse c'è un errore, o sbaglio? Perchè è y=-t mentre x è 2t, o sbaglio?
"matteotex":
Per determinare ora una base di W seguiamo il seguente procedimento :
Riscriviamo il nostro sottospazio come $ W = { (x,y,z,t) in R^4 | x+y-t=x+t=2x+y-3t=0 } $ .
Ora, dobbiamo cercare di eliminare tutte le incognite possibile tramite sostituzioni, ad esempio, sappiamo che x+t=0, allora x=-t, e con questo possiamo eliminare tutte le incognite x sostituendole con -t :
$ W= {(-t,y,z,t)in R^4 | -t+y-t=-2t+y-3t=0} = {(-t,y,z,t)in R^4 | -2t+y=-5t+y=0}$.
Ora dalle 2 equazioni rimanenti possiamo ricavare che t=y=0, dunque riscriviamo nuovamente il sottospazio :
$ W= {(0,0,z,0) | z in R } = { z (0,0,1,0) | z in R } rarr W=<(0,0,1,0)> $
Chiaro il procedimento?
Matteo non mi è chiaro questo procedimento, me lo spiegheresti meglio? Perchè non capisco come tu abbia fatto a ricavare quel vettore (0,0,1,0)!
Mentre per l'altro vettore di W che è (2,-1,0,1) avevo compreso da dove uscisse, questo mi è ancora poco chiaro :S
Quel vettore (0,0,1,0) lo trovi nello svolgimento completo che avevo fatto prima , anche se avevo cannato dei calcoli...
lo deduci direttamente dalla definizione di sottospazio generato....
lo deduci direttamente dalla definizione di sottospazio generato....
okok, mi è un pò chiaro, ma credo che sia dovuto ponendo x=0, y=0, z=1 che è libero e t=0, giusto?
un'altra piccola mano mi servirebbe invece per la Base di u+w, cioè vorrei un chiarimento. Ti spiego come stavo procedendo.
Ho preso come base di W i vettori (2, -1, 0, 1) (0, 0, 1, 0) e come base di u i vettori (1, 0, 1, 0) (1, -1, 1, 1) e li ho scritti cosi poi:
BU+W= [(1, 0, 1, 0) , (1, -1, 1, 1) , (2, -1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0)] e li ho scritti poi in una matrice composta cosi $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
ora come devo procedere?
In realtà c'ho già provato, scrivendo cosi $ ( ( 1 , -1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ + $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ) ) $ ma purtroppo non riesco a proseguire :s ho provato cosi, perchè mi sto aiutando con degli esercizi già svolti, dove hanno effettuato questo procedimento, ma non so come proseguire, puoi aiutarmi? Lo so che sono a dir poco scocciante, ma domani ho l'esame di geometria, non punto al massimo, ma almeno ad un 18 o un 19 ahah mi basta poter svolgere solo un esercizio
mi sta bene anche un metodo alternativo
un'altra piccola mano mi servirebbe invece per la Base di u+w, cioè vorrei un chiarimento. Ti spiego come stavo procedendo.
Ho preso come base di W i vettori (2, -1, 0, 1) (0, 0, 1, 0) e come base di u i vettori (1, 0, 1, 0) (1, -1, 1, 1) e li ho scritti cosi poi:
BU+W= [(1, 0, 1, 0) , (1, -1, 1, 1) , (2, -1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0)] e li ho scritti poi in una matrice composta cosi $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
ora come devo procedere?
In realtà c'ho già provato, scrivendo cosi $ ( ( 1 , -1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ + $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ) ) $ ma purtroppo non riesco a proseguire :s ho provato cosi, perchè mi sto aiutando con degli esercizi già svolti, dove hanno effettuato questo procedimento, ma non so come proseguire, puoi aiutarmi? Lo so che sono a dir poco scocciante, ma domani ho l'esame di geometria, non punto al massimo, ma almeno ad un 18 o un 19 ahah mi basta poter svolgere solo un esercizio
mi sta bene anche un metodo alternativo
una volta costruita quella matrice calcolane il rango.
Immediatamente vedi che non è massimo, perchè la seconda colonna è il reciproco della quarta, e puoi facilmente verificare che è 3.
Ora sai che di quei 4 vettori colonna ce ne sono 3 soli linearmente indipendenti, quindi una base dell'unione dei sottospazi deve per forza avere cardinalità uguale a 3.
Puoi prendere come base ad esempio ${(1,1,2,0),(0,1,1,0),(1,1,0,1)}$
Immediatamente vedi che non è massimo, perchè la seconda colonna è il reciproco della quarta, e puoi facilmente verificare che è 3.
Ora sai che di quei 4 vettori colonna ce ne sono 3 soli linearmente indipendenti, quindi una base dell'unione dei sottospazi deve per forza avere cardinalità uguale a 3.
Puoi prendere come base ad esempio ${(1,1,2,0),(0,1,1,0),(1,1,0,1)}$
Insomma, come mi suggerisci tu, una volta costruita la matrice $ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 2 , -1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , -1 ) ) $ basta che mi calcolo il rango di tale matrice e tramite quella capire quali sono i vettori indipendenti e quali indipendenti giusto? Per esempio come mi hai detto tu di questa matrice il rango è 3, quindi saranno 3 i vettori che dovrò prendere per formare la base giusto?
Ora la base $ {(1,1,2,0),(0,1,1,0),(1,1,0,1)} $ l'hai ricavata scrivendo i vettori colonna giusto?
Un'altra cosa, il rango posso calcolarlo sia per colonna che per righe giusto?
Ora la base $ {(1,1,2,0),(0,1,1,0),(1,1,0,1)} $ l'hai ricavata scrivendo i vettori colonna giusto?
Un'altra cosa, il rango posso calcolarlo sia per colonna che per righe giusto?
Non mi è ben chiaro l'ultimo passaggio, ovvero, come abbiamo trovato la dimensione $ U nn W $ ??
Abbiamo applicato la regola di grassman, ma non mi è molto chiaro :/
Abbiamo applicato la regola di grassman, ma non mi è molto chiaro :/
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