Esercizio sui sistemi lineari
Sto trovando difficoltà sulla risoluzione dei sistemi lineari.
il sistema lineare in questione è questo: $3$ equazioni in $3$ incognite.
$x_1 + x_2 - x_3 = 1$
$2x_1 + 2x_2 +x_3 = 0$
$x_1 + x_2 + 2x_3 = -1$
la risoluzione è questa:
http://****/2qZZ2
MA IO non mi trovo.
ragionamento:
per prima cosa me li riscrivo nelle matrici A e A':
$A=((1,1,-1),(2,2,1),(1,1,2))$
e
$A'=((1,1,-1,1),(2,2,1,0),(1,1,2,-1))$
studio il rango di $A$
$det A = 0$
il rango quindi è $rang A = 2$
vedo il rango dell'altra matrice quella completa
parto dai minori
$M_1 = ((1,-1),(2,1)) = 3 $
il rango è almeno 2
orlo
$M_2=((1,-1,1),(2,1,0),(1,2,-1))$ il $det M_2 = 0$
orlo dall'altra e unica parte:
$M_3 =((1,1,-1),(2,2,1),(1,1,2))$ il $det M_3 =0$
il $rang A' = 2$
dato che hanno rango uguale, pe rouche capelli, sono compatibili, e dunque hanno almeno una soluzione.
a questo punto uso cramer per ottenere le risoluzioni, ed qui che evidentemente NON mi trovo.
il $det = 3$ cioè quello del minore non nullo
$x_1 = (((1,1,-1),(0,2,1),(-1,1,2)))/3 = 0$
$x_2 = (((1,1,-1),(2,0,1),(1,-1,2)))/3 = -4/3$
$x_3 = (((1,1,1),(2,2,0),(1,2,-1)))/3 = 2/3$
non capisco dov è lo sbaglio!
spero in qualche suggerimento.
il sistema lineare in questione è questo: $3$ equazioni in $3$ incognite.
$x_1 + x_2 - x_3 = 1$
$2x_1 + 2x_2 +x_3 = 0$
$x_1 + x_2 + 2x_3 = -1$
la risoluzione è questa:
http://****/2qZZ2
MA IO non mi trovo.
ragionamento:
per prima cosa me li riscrivo nelle matrici A e A':
$A=((1,1,-1),(2,2,1),(1,1,2))$
e
$A'=((1,1,-1,1),(2,2,1,0),(1,1,2,-1))$
studio il rango di $A$
$det A = 0$
il rango quindi è $rang A = 2$
vedo il rango dell'altra matrice quella completa
parto dai minori
$M_1 = ((1,-1),(2,1)) = 3 $
il rango è almeno 2
orlo
$M_2=((1,-1,1),(2,1,0),(1,2,-1))$ il $det M_2 = 0$
orlo dall'altra e unica parte:
$M_3 =((1,1,-1),(2,2,1),(1,1,2))$ il $det M_3 =0$
il $rang A' = 2$
dato che hanno rango uguale, pe rouche capelli, sono compatibili, e dunque hanno almeno una soluzione.
a questo punto uso cramer per ottenere le risoluzioni, ed qui che evidentemente NON mi trovo.
il $det = 3$ cioè quello del minore non nullo
$x_1 = (((1,1,-1),(0,2,1),(-1,1,2)))/3 = 0$
$x_2 = (((1,1,-1),(2,0,1),(1,-1,2)))/3 = -4/3$
$x_3 = (((1,1,1),(2,2,0),(1,2,-1)))/3 = 2/3$
non capisco dov è lo sbaglio!
spero in qualche suggerimento.
Risposte
Gradinizza la matrice $A'$...
$A'=((1,1,-1,1),(1,1,2,-1),(2,2,1,0))$
$((1,1,-1,1),(0,0,3,-2),(0,0,3,-2))$
$((1,1,-1,1),(0,0,3,-2),(0,0,0,0))$
A questo punto è uno scherzo trovare la soluzione:
$x_1 + x_2 - x_3 = 1$
$3 x_3 = - 2$
Cioè $x_3 = - 2/3$ e quindi $x_1 = 1/3 - x_2$.
La soluzione è $v = ( 1/3 - x_2 , x_2 , - 2/3 ) = (1/3 , 0 , - 2/3 ) + x_2 ( - 1 , 1 , 0 ) $
Fin qua c'eri arrivato?
$A'=((1,1,-1,1),(1,1,2,-1),(2,2,1,0))$
$((1,1,-1,1),(0,0,3,-2),(0,0,3,-2))$
$((1,1,-1,1),(0,0,3,-2),(0,0,0,0))$
A questo punto è uno scherzo trovare la soluzione:
$x_1 + x_2 - x_3 = 1$
$3 x_3 = - 2$
Cioè $x_3 = - 2/3$ e quindi $x_1 = 1/3 - x_2$.
La soluzione è $v = ( 1/3 - x_2 , x_2 , - 2/3 ) = (1/3 , 0 , - 2/3 ) + x_2 ( - 1 , 1 , 0 ) $
Fin qua c'eri arrivato?
Quindi Cramer, in QUESTO caso, non si utilizza? Perchè a lezione e dagli appunti che ho non ho trovato niente.
Infatti spulciando per dispense, ho trovato il metodo a gradini....
Quindi, usare la matrice a gradini va bene sempre, o ci sono esercizi su cui io NON posso utilizzarlo?
Infatti spulciando per dispense, ho trovato il metodo a gradini....
Quindi, usare la matrice a gradini va bene sempre, o ci sono esercizi su cui io NON posso utilizzarlo?
"clever":
Quindi Cramer, in QUESTO caso, non si utilizza? Perchè a lezione e dagli appunti che ho non ho trovato niente.
Infatti spulciando per dispense, ho trovato il metodo a gradini....
Quindi, usare la matrice a gradini va bene sempre, o ci sono esercizi su cui io NON posso utilizzarlo?
Io non ho mai usato Cramer; ho sempre usato QUESTA tecnica per risolvere i sistemi lineari.
Comunque il tuo dubbio può essere sciolto facilmente dopo una lettura del topic: http://www.matematicamente.it/forum/guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095.html
Ah già avevo spulciato quel topic, in sostanza lo risolvi con la riduzione a scala di Gauss - Jordan.
Io di teoria, ecco non vorrei sbagliarmi però, il prof ci ha detto che si usa rouche - capelli per il problema compatibilità, e cramer per risolvere il sistema, perchè è anche più elegante matematicamente.
ad esempio come altro sistema lineare ho questo:
$2x y - z - 4t=0$
$4x - 3z -t=0$
$8x -2y -5z -9t = 18$
ho visto con un programmino come potrebbe ridursi a gradini, ma io ho fatto un bel pò di passaggi e non so nemmeno se siano tutti giusti!
matrice di partenza completa:
$((2,-1,-1,-4,0),(4,0,-3,-1,0),(8,-2,-5,-9,-18))$
ho cercato di rendelo a gradini in questo modo:
$((8,-2,-5,-9,-18),(2,-1,-1,-4,0),(4,0,-3,-1,0))$
moltiplicando per 2 la seconda:
$((8,-2,-5,-9,-18),(8,-4,-4,-16,0),(4,0,-3,-1,0))$
sottraendo le prime due:
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(4,0,-3,-1,0))$
moltiplico la terza per 2
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(8,0,-6,-2,0))$
sottraggo la prima e la terza
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(0,-2,1,10,-18))$
infine
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(0,0,-2,-3,0))$
ma pare non andar bene!
Io di teoria, ecco non vorrei sbagliarmi però, il prof ci ha detto che si usa rouche - capelli per il problema compatibilità, e cramer per risolvere il sistema, perchè è anche più elegante matematicamente.
ad esempio come altro sistema lineare ho questo:
$2x y - z - 4t=0$
$4x - 3z -t=0$
$8x -2y -5z -9t = 18$
ho visto con un programmino come potrebbe ridursi a gradini, ma io ho fatto un bel pò di passaggi e non so nemmeno se siano tutti giusti!
matrice di partenza completa:
$((2,-1,-1,-4,0),(4,0,-3,-1,0),(8,-2,-5,-9,-18))$
ho cercato di rendelo a gradini in questo modo:
$((8,-2,-5,-9,-18),(2,-1,-1,-4,0),(4,0,-3,-1,0))$
moltiplicando per 2 la seconda:
$((8,-2,-5,-9,-18),(8,-4,-4,-16,0),(4,0,-3,-1,0))$
sottraendo le prime due:
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(4,0,-3,-1,0))$
moltiplico la terza per 2
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(8,0,-6,-2,0))$
sottraggo la prima e la terza
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(0,-2,1,10,-18))$
infine
$((8,-2,-5,-9,-18),(0,-2,-1,7,-18),(0,0,-2,-3,0))$
ma pare non andar bene!
"Seneca":
Gradinizza la matrice $A'$...
Gradinizza e meraviglioserrimissimo!
"ciampax":
[quote="Seneca"]Gradinizza la matrice $A'$...
Gradinizza e meraviglioserrimissimo!
[/quote]
hai qualche delucidazione da darmi?
La riduzione che hai fatto sopra mi sembra giusta: perché dici che non va bene? E per il mio intervento precedente. sottolineavo solo il fatto che il termine "gradinizzare2 non si può sentire!
Peccato che non riesco a trovarmi con il risultato, il sistema deve essere non risolubile e invece dalal riduzione a gradini risulta:
$z = -3t/2$
che si va a mettere nella seconda riga per trovarmi un $y= ... t$
che vado a mettere nella prima riga per trovarmi un $x = .....$
cosi avendo $oo^1$ soluzioni...
mi sa che è qualche passaggio che è sfuggito, ma non capisco quale!
$z = -3t/2$
che si va a mettere nella seconda riga per trovarmi un $y= ... t$
che vado a mettere nella prima riga per trovarmi un $x = .....$
cosi avendo $oo^1$ soluzioni...
mi sa che è qualche passaggio che è sfuggito, ma non capisco quale!
"ciampax":
La riduzione che hai fatto sopra mi sembra giusta: perché dici che non va bene? E per il mio intervento precedente. sottolineavo solo il fatto che il termine "gradinizzare2 non si può sentire!
Preferiresti forse Gaussizzare?
"clever":
$2x y - z - 4t=0$
Prima di controllare i tuoi calcoli mi sai dire qual è il coefficiente di $y$?
@ Seneca: ecco, Gaussizzare suona meglio!
@ clever: ma l'ultimo termine noto è $+18$ o $-18$? Perché hai scritto due cose differenti nel sistema e nella matrice...
@ clever: ma l'ultimo termine noto è $+18$ o $-18$? Perché hai scritto due cose differenti nel sistema e nella matrice...
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