Esercizio sui piani
Salve a tutti ragazzi non riesco a capire come svolgere questo esercizio sui piani
si considerino le rette $ r: { ( x-z+1=0 ),( y-2=0 ):} $ e $ s: { ( y-z-1=0 ),( x-y=0 ):} $ .
Si determinino le equazioni cartesiane e quelle parametriche della retta appartenente al piano
$ y=z $ che sia incidente con $ r $ ed ortogonale a $ s $ .
Siccome la retta è contenuta nel piano y=z ho pensato di trovare un piano che interseca y=z e passante per il punto
(1,2,2) che dovrebbe essere il punto di intersezione della retta r con y=z
Non so se il ragionamento è corretto, ma non riesco a capire come svolgerlo, qualcuno gentilmente potrebbe aiutarmi?
Grazie tante
si considerino le rette $ r: { ( x-z+1=0 ),( y-2=0 ):} $ e $ s: { ( y-z-1=0 ),( x-y=0 ):} $ .
Si determinino le equazioni cartesiane e quelle parametriche della retta appartenente al piano
$ y=z $ che sia incidente con $ r $ ed ortogonale a $ s $ .
Siccome la retta è contenuta nel piano y=z ho pensato di trovare un piano che interseca y=z e passante per il punto
(1,2,2) che dovrebbe essere il punto di intersezione della retta r con y=z
Non so se il ragionamento è corretto, ma non riesco a capire come svolgerlo, qualcuno gentilmente potrebbe aiutarmi?
Grazie tante
Risposte
Cerco di darti l'idea, sperando sia corretta.
Poniamo $\pi : y-z=0$ , per ipotesi la retta cercata $t sube \pi$.
$t$ inoltre deve essere incidente a $r$ , pertanto $r$ e $t$ sono complanari, dunque $t sube \alpha$ dove $\alpha : x-z+1+k(y-2)=0$.
In poche parole puoi vedere $t$ come $\pi nn \alpha$
cioè $t$ avrà equazione cartesiana di tipo :
$ y-z=0$
$ x-z+1+k(y-2)=0$.
Ora vuoi che $t$ sia ortogonale a $s$, non ti resta altro che trovarti i parametri direttori di $t$ e $s$ e imporre la condizione di perpendicolarità.
Poniamo $\pi : y-z=0$ , per ipotesi la retta cercata $t sube \pi$.
$t$ inoltre deve essere incidente a $r$ , pertanto $r$ e $t$ sono complanari, dunque $t sube \alpha$ dove $\alpha : x-z+1+k(y-2)=0$.
In poche parole puoi vedere $t$ come $\pi nn \alpha$
cioè $t$ avrà equazione cartesiana di tipo :
$ y-z=0$
$ x-z+1+k(y-2)=0$.
Ora vuoi che $t$ sia ortogonale a $s$, non ti resta altro che trovarti i parametri direttori di $t$ e $s$ e imporre la condizione di perpendicolarità.
potresti dirmi se ho fatto giusto? ho trovato i parametri direttori di t che sono $ (-1+k, -1, -1) $ mentre quelli di s sono
$ (-1, -1, -1) $
poi ho imposto $ (-1+k, -1, -1) @ (-1,-1,-1)=0 $ trovando k=3
poi ho sostituito k all'equazione di t
ricavando le equazioni cartesiane della retta
$ { ( y-z=0 ),( x-z+3y-1=0 ):} $
$ (-1, -1, -1) $
poi ho imposto $ (-1+k, -1, -1) @ (-1,-1,-1)=0 $ trovando k=3
poi ho sostituito k all'equazione di t
ricavando le equazioni cartesiane della retta
$ { ( y-z=0 ),( x-z+3y-1=0 ):} $
C'è un piccolo errore nella seconda equazione :
\(\displaystyle \begin{cases}y-z=0\\x+3y-z-5=0\end{cases}\)
[ot]Cucù !![/ot]
\(\displaystyle \begin{cases}y-z=0\\x+3y-z-5=0\end{cases}\)
[ot]Cucù !![/ot]
perfetto grazie tante!!! 
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