Esercizio sui flessi di una cubica
Salve a tutti!
Ho un esercizio che non riesco proprio a risolvere:
Consideriamo una cubica $C$ e una conica $D$ tale che la loro intersezione sia costituita da due soli punti $P_1$ e $P_2$ ognuno di moleplicità 3.
Dobbiamo dimostrare che la restante intersezione della retta che congiunge $P_1$ e $P_2$ con la cubica $C$ è un flesso!
Ora ho provato a usare vari teoremi che abbiamo dimostrato, solo che non riesco proprio a capire come usare l'hp che la molteplicità di intersezione fra la conica e la cubica in $P_i$ è esattamente 3.
Qualcuno sa aiutarmi?Grazie
Ho un esercizio che non riesco proprio a risolvere:
Consideriamo una cubica $C$ e una conica $D$ tale che la loro intersezione sia costituita da due soli punti $P_1$ e $P_2$ ognuno di moleplicità 3.
Dobbiamo dimostrare che la restante intersezione della retta che congiunge $P_1$ e $P_2$ con la cubica $C$ è un flesso!
Ora ho provato a usare vari teoremi che abbiamo dimostrato, solo che non riesco proprio a capire come usare l'hp che la molteplicità di intersezione fra la conica e la cubica in $P_i$ è esattamente 3.
Qualcuno sa aiutarmi?Grazie
Risposte
Sta ad indicare che una stessa soluzione si ripete per 3 volte !!
la definizione di molteplicità di intersezione fra due curve è davvero complicata, infatti oltre la definizione formale non riesco proprio a capire se c'è una connessione con la definizione di molteplciità di intersezione fra una retta e una curva... sarebbe davvero utile!
Ma si, la definizione generale (intendi quella con il risultante?) e quella più terra-terra che dai con le rette sono la stessa cosa. In generale quando hai due curve algebriche $C: P(x, y)=0, D: Q(x, y)=0$ la molteplicità di un punto $(x_0, y_0)$ in cui si intersecano è la molteplicità di $(x_0, y_0)$ come soluzione del sistema
${(P(x, y)=0), (Q(x, y)=0):}$.
Quando $D$ è una retta, è facile dare una definizione di questa molteplicità. Se invece $D$ è una curva di grado più alto questa definizione è un tantino più complicata ma il concetto è sempre quello. In particolare, le due definizioni di molteplicità che presumo tu abbia incontrato coincidono se $D$ è una retta.
${(P(x, y)=0), (Q(x, y)=0):}$.
Quando $D$ è una retta, è facile dare una definizione di questa molteplicità. Se invece $D$ è una curva di grado più alto questa definizione è un tantino più complicata ma il concetto è sempre quello. In particolare, le due definizioni di molteplicità che presumo tu abbia incontrato coincidono se $D$ è una retta.
Ragazzi... mi permetto di consigliarvi, se siete interessati all'argomento, un'attenta lettura del capitolo terzo dell'Algebraic Curves di W. Fulton. Si trova in rete gratuitamente per volere dell'autore: qui.
La definizione di molteplicità di intersezione è, per come la propone Fulton (e per come è proposta nella moderna geometria algebrica), un po' (tanto) astratta. Ma i vantaggi teorici (e pratici!!) di una simile definizione sono inimmaginabili. Certo, serve un bel po' di algebra per apprezzarla!
E, ad occhio, il tuo problema iniziale può risolversi in due, massimo tre righe (senza conti!) utilizzando il [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Max_Noether's_theorem]Max Noether's Fundamental Theorem[/url], per cui vi rimando al capitolo quinto dello stesso testo.
Quando ho studiato curve algebriche lì sopra sono semplicemente rimasto estasiato!
La definizione di molteplicità di intersezione è, per come la propone Fulton (e per come è proposta nella moderna geometria algebrica), un po' (tanto) astratta. Ma i vantaggi teorici (e pratici!!) di una simile definizione sono inimmaginabili. Certo, serve un bel po' di algebra per apprezzarla!
E, ad occhio, il tuo problema iniziale può risolversi in due, massimo tre righe (senza conti!) utilizzando il [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Max_Noether's_theorem]Max Noether's Fundamental Theorem[/url], per cui vi rimando al capitolo quinto dello stesso testo.
Quando ho studiato curve algebriche lì sopra sono semplicemente rimasto estasiato!
Ti ringrazio per il suggerimento bibliografico: tra l'altro, quando qualche anno fa mi sono interessato alla geometria algebrica ho consultato la vecchia edizione di quel libro e sono molto contento che sia stato rieditato con una tipografia moderna!
Però non so se essere d'accordo col tuo suggerimento. Questo è un campo in cui è facile esagerare con l'astrazione. Tu sei uno molto in gamba e con forti interessi nel ramo, per cui a te piace ed è utile sconfinare nei sofisticati approcci moderni della geometria algebrica. Ma per un altro studente di matematica questo potrebbe essere eccessivo e fuorviante. La nozione di molteplicità di intersezione, in ultima analisi, è una cosa perfettamente naturale che serve a generalizzare il concetto di "retta tangente". Darla ex abrupto in termini totalmente astratti non mi convince.
Una cosa analoga succede in analisi. Per dire, si potrebbe anche definire direttamente la derivata come "operatore non limitato sullo spazio di Banach $C^0([a, b])$". E si avrebbero enormi vantaggi da un punto di vista funzionale. Ma tu lo faresti mai, se fossi responsabile della didattica di un primo anno?
(Una esagerazione: un mio professore ama ricordare con divertimento certi vecchi testi degli anni '50, in cui era alla moda astrarre il più possibile. Invece di parlare di "spazio $RR^n$", su questi libri si parlava di "spazio localmente convesso, Banachabile, di dimensione finita" (!). )
Però non so se essere d'accordo col tuo suggerimento. Questo è un campo in cui è facile esagerare con l'astrazione. Tu sei uno molto in gamba e con forti interessi nel ramo, per cui a te piace ed è utile sconfinare nei sofisticati approcci moderni della geometria algebrica. Ma per un altro studente di matematica questo potrebbe essere eccessivo e fuorviante. La nozione di molteplicità di intersezione, in ultima analisi, è una cosa perfettamente naturale che serve a generalizzare il concetto di "retta tangente". Darla ex abrupto in termini totalmente astratti non mi convince.
Una cosa analoga succede in analisi. Per dire, si potrebbe anche definire direttamente la derivata come "operatore non limitato sullo spazio di Banach $C^0([a, b])$". E si avrebbero enormi vantaggi da un punto di vista funzionale. Ma tu lo faresti mai, se fossi responsabile della didattica di un primo anno?
(Una esagerazione: un mio professore ama ricordare con divertimento certi vecchi testi degli anni '50, in cui era alla moda astrarre il più possibile. Invece di parlare di "spazio $RR^n$", su questi libri si parlava di "spazio localmente convesso, Banachabile, di dimensione finita" (!). )
No, riconosco che hai perfettamente ragione.
Però, ciò nonostante, invito lo stesso tutti i lettori - anche quelli meno interessati - a leggere il paragrafo del Fulton sul numero di intersezione, tralasciando le parti di algebra pesante. Viene presentata anche una formulazione assiomatica del numero di intersezione e si costruisce in poco più di mezza pagina un algoritmo per calcolarlo esplicitamente utilizzando solo proprietà elementari. E questo è davvero molto utile, oltre che interessante.
Però, ciò nonostante, invito lo stesso tutti i lettori - anche quelli meno interessati - a leggere il paragrafo del Fulton sul numero di intersezione, tralasciando le parti di algebra pesante. Viene presentata anche una formulazione assiomatica del numero di intersezione e si costruisce in poco più di mezza pagina un algoritmo per calcolarlo esplicitamente utilizzando solo proprietà elementari. E questo è davvero molto utile, oltre che interessante.
Tra l'altro segnalo questa simpatica procedura Maple che si può scaricare qui.
L'ho scritta io ed illustra le proprietà del numero di intersezione con qualche esempio. La cosa interessante è l'algoritmo che calcola il numero di intersezione.
E, per tornare al problema iniziale, mi sembra che la condizione [tex]I(P_1, C \cap D) = 3[/tex] forzi [tex]P_1[/tex] ad essere un flesso su [tex]C[/tex].
Naturalmente a patto che tutte la cubica e la conica siano lisce. E' un'ipotesi che mi sto aggiungendo, oppure sei tu che l'hai omessa, efin_90?
L'ho scritta io ed illustra le proprietà del numero di intersezione con qualche esempio. La cosa interessante è l'algoritmo che calcola il numero di intersezione.
E, per tornare al problema iniziale, mi sembra che la condizione [tex]I(P_1, C \cap D) = 3[/tex] forzi [tex]P_1[/tex] ad essere un flesso su [tex]C[/tex].
Naturalmente a patto che tutte la cubica e la conica siano lisce. E' un'ipotesi che mi sto aggiungendo, oppure sei tu che l'hai omessa, efin_90?
Ragionare con gli anelli locali è sempre più facile: si riesce a fare pure dormendo, a quanto pare! LOL
Peccato che abbia ottenuto il contrario di quello che volevo... Comunque, finché rimaniamo a questo livello, penso di poter dare una giustificazione sensata senza usare l'algebra pesante dei DVR. Nel seguito utilizzerò sostanzialmente le proprietà del numero di intersezione riportate qui. Inoltre confonderò la nozione di curva con quella del suo polinomio associato; in altre parole, chiamerò entrambe le cose [tex]F[/tex]. Infine, se [tex]P \in F[/tex] denoto con [tex]m_P(F)[/tex] la molteplicità del punto [tex]P[/tex] sulla curva [tex]F[/tex].
Lemma. Siano [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex] due curve affini e sia [tex]P \in F \cap G[/tex]. Se [tex]P[/tex] è un punto semplice su entrambe le curve e queste hanno la stessa retta tangente [tex]r[/tex], si ha [tex]I(P, F, G) \ge \min\{I(P, F, r), I(P, G, r)\}[/tex]. Se inoltre [tex]I(P,F,r) \ne I(P,G,r)[/tex] allora vale il segno di uguaglianza.
Proof. A meno di un'affinità (che non cambia le quantità in gioco) possiamo assumere wlog che si abbia [tex]P = (0,0)[/tex], [tex]r = \{Y = 0\}[/tex]. Per definizione di retta tangente possiamo scrivere [tex]F = Y(1+ F_1(X,Y)) + X^k F_2(X)[/tex], dove [tex]F_1(0,0) = 0[/tex] e [tex]F_2[/tex] è un polinomio nella sola [tex]X[/tex] con [tex]F_2(0) \ne 0[/tex]. Analogamente [tex]G = Y(1 + G_1(X,Y)) + X^h G_2(X)[/tex], dove [tex]G_1(0,0) = 0[/tex] e [tex]G_2[/tex] è un polinomio nella sola [tex]X[/tex] con [tex]G_2(0) \ne 0[/tex].
Adesso, sfruttando le proprietà del numero di intersezione è immediato che [tex]I(P,F,Y) = I(P,X^k F_2, Y) = k I(P,X,Y) + I(P,F_2,Y) = k[/tex], mentre [tex]I(P,G,Y) = h[/tex].
Ora [tex](1+F_1) Y = F - X^k F_2[/tex] e pertanto, osservato che [tex]I(P,1+F_1,F) = 0[/tex], segue [tex]I(P,F,G) = I(P,F,(1+F_1)G)[/tex]. Ma [tex](1+F_1)G = (F -X^kF_2)(1+G_1) + X^h G_2 = F(1+G_1) + X^h G_2 - X^k F_2 (1+ G_1)[/tex] e quindi posto [tex]m = \min\{h,k\}[/tex] si ha [tex]I(P,F,G) = I(P,F,X^m(X^{h-m}G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1))) = m + I(P,F,X^{h-m}G_2[/tex][tex]- X^{k-m}F_2(1+G_1))[/tex], da cui la prima parte del lemma.
Supponiamo [tex]h \ne k[/tex]. Questo fa sì che l'espressione [tex]X^{h-m} G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1)[/tex] non possa annullarsi in [tex](0,0)[/tex] e quindi [tex]I(P,F,X^{h-m}G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1)) = 0[/tex], da cui la seconda parte del lemma. [tex]\square[/tex]
Ecco, non è esattamente quello che speravo di ottenere... Applicato al nostro caso, se cubica e conica sono lisce l'informazione [tex]I(P,C,D) = 3[/tex] porta a concludere, giacché [tex]I(P,D,r) = 2[/tex] necessariamente e [tex]I(P,C,r) \ge 2[/tex], che [tex]I(P,C,r) = I(P,D,r) = 2[/tex], altrimenti si avrebbe [tex]I(P,C,D) = 2[/tex]. Quindi [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] non possono essere flessi, contrariamente alle mie aspettative!
Qualcuno adesso dovrebbe controllare che io non abbia detto corbellerie, però! Apposta per facilitare questo compito metto di seguito in spoiler la soluzione con l'algebra dei DVR. Potrò anche averla chiamata "pesante", ma la dimostrazione è assai più corta (se si escludono tutte le note chiarificatrici della notazione)!
Peccato che abbia ottenuto il contrario di quello che volevo... Comunque, finché rimaniamo a questo livello, penso di poter dare una giustificazione sensata senza usare l'algebra pesante dei DVR. Nel seguito utilizzerò sostanzialmente le proprietà del numero di intersezione riportate qui. Inoltre confonderò la nozione di curva con quella del suo polinomio associato; in altre parole, chiamerò entrambe le cose [tex]F[/tex]. Infine, se [tex]P \in F[/tex] denoto con [tex]m_P(F)[/tex] la molteplicità del punto [tex]P[/tex] sulla curva [tex]F[/tex].
Lemma. Siano [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex] due curve affini e sia [tex]P \in F \cap G[/tex]. Se [tex]P[/tex] è un punto semplice su entrambe le curve e queste hanno la stessa retta tangente [tex]r[/tex], si ha [tex]I(P, F, G) \ge \min\{I(P, F, r), I(P, G, r)\}[/tex]. Se inoltre [tex]I(P,F,r) \ne I(P,G,r)[/tex] allora vale il segno di uguaglianza.
Proof. A meno di un'affinità (che non cambia le quantità in gioco) possiamo assumere wlog che si abbia [tex]P = (0,0)[/tex], [tex]r = \{Y = 0\}[/tex]. Per definizione di retta tangente possiamo scrivere [tex]F = Y(1+ F_1(X,Y)) + X^k F_2(X)[/tex], dove [tex]F_1(0,0) = 0[/tex] e [tex]F_2[/tex] è un polinomio nella sola [tex]X[/tex] con [tex]F_2(0) \ne 0[/tex]. Analogamente [tex]G = Y(1 + G_1(X,Y)) + X^h G_2(X)[/tex], dove [tex]G_1(0,0) = 0[/tex] e [tex]G_2[/tex] è un polinomio nella sola [tex]X[/tex] con [tex]G_2(0) \ne 0[/tex].
Adesso, sfruttando le proprietà del numero di intersezione è immediato che [tex]I(P,F,Y) = I(P,X^k F_2, Y) = k I(P,X,Y) + I(P,F_2,Y) = k[/tex], mentre [tex]I(P,G,Y) = h[/tex].
Ora [tex](1+F_1) Y = F - X^k F_2[/tex] e pertanto, osservato che [tex]I(P,1+F_1,F) = 0[/tex], segue [tex]I(P,F,G) = I(P,F,(1+F_1)G)[/tex]. Ma [tex](1+F_1)G = (F -X^kF_2)(1+G_1) + X^h G_2 = F(1+G_1) + X^h G_2 - X^k F_2 (1+ G_1)[/tex] e quindi posto [tex]m = \min\{h,k\}[/tex] si ha [tex]I(P,F,G) = I(P,F,X^m(X^{h-m}G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1))) = m + I(P,F,X^{h-m}G_2[/tex][tex]- X^{k-m}F_2(1+G_1))[/tex], da cui la prima parte del lemma.
Supponiamo [tex]h \ne k[/tex]. Questo fa sì che l'espressione [tex]X^{h-m} G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1)[/tex] non possa annullarsi in [tex](0,0)[/tex] e quindi [tex]I(P,F,X^{h-m}G_2 - X^{k-m}F_2(1+G_1)) = 0[/tex], da cui la seconda parte del lemma. [tex]\square[/tex]
Ecco, non è esattamente quello che speravo di ottenere... Applicato al nostro caso, se cubica e conica sono lisce l'informazione [tex]I(P,C,D) = 3[/tex] porta a concludere, giacché [tex]I(P,D,r) = 2[/tex] necessariamente e [tex]I(P,C,r) \ge 2[/tex], che [tex]I(P,C,r) = I(P,D,r) = 2[/tex], altrimenti si avrebbe [tex]I(P,C,D) = 2[/tex]. Quindi [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] non possono essere flessi, contrariamente alle mie aspettative!
Qualcuno adesso dovrebbe controllare che io non abbia detto corbellerie, però! Apposta per facilitare questo compito metto di seguito in spoiler la soluzione con l'algebra dei DVR. Potrò anche averla chiamata "pesante", ma la dimostrazione è assai più corta (se si escludono tutte le note chiarificatrici della notazione)!
Ok, ho la soluzione. Il seguente lemma dovrebbe essere universalmente noto e non posto la dimostrazione anche perché l'unica che conosco si basa esclusivamente su Max Noether's fundamental theorem, quindi non mi sembra il caso...
Lemma. Siano [tex]C,C'[/tex] due cubiche e supponiamo che si intersechino nei punti [tex]\{P_i\}_{i = 1}^9[/tex], non necessariamente distinti. Sia poi [tex]Q[/tex] una conica e supponiamo che [tex]C[/tex] e [tex]Q[/tex] si intersechino in [tex]\{P_i\}_{i = 1}^6[/tex] e che questi punti siano semplici su [tex]C[/tex]. Allora [tex]P_7, P_8[/tex] e [tex]P_9[/tex] giacciono su una linea retta.
Corollario. Sia [tex]C[/tex] una conica irriducibile e siano [tex]P_1, P_2, P_3 \in C[/tex] tre punti allineati e distinti. Sia [tex]l_i[/tex] la tangente a [tex]C[/tex] in [tex]P_i[/tex]; sia [tex]Q_i[/tex] l'altra intersezione di [tex]l_i[/tex] con [tex]C_i[/tex]. Allora i [tex]Q_i[/tex] sono allineati.
Proof. Si osservi che la retta contenente [tex]P_1, P_2, P_3[/tex], elevata al quadrato, è una conica! [tex]\square[/tex]
A questo punto è semplice. Siano [tex]r_1,r_2[/tex] le rette tangenti a [tex]C[/tex] in [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] rispettivamente. Sia poi [tex]l[/tex] la retta congiungente [tex]P_1[/tex] a [tex]P_2[/tex]. Allora la cubica [tex]C'[/tex] formata dal prodotto di queste tre rette interseca [tex]C[/tex] in [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] con molteplicità 3, e con [tex]Q_1, Q_2, Q_3[/tex], dove [tex]Q_1, Q_2[/tex] sono le altre intersezioni di [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] con [tex]C[/tex], mentre [tex]Q_3[/tex] è l'altra intersezione di [tex]l[/tex] con [tex]C[/tex]. Noi vogliamo mostrare che [tex]Q_3[/tex] è un flesso.
Bene, il lemma assicura che i [tex]Q_i[/tex] siano allineati.
Ma adesso usiamo il corollario e osserviamo che i punti [tex]P_1, P_2, Q_3[/tex] sono allineati. Se [tex]r'[/tex] è la tangente a [tex]C[/tex] in [tex]Q_3[/tex], detta [tex]Q_4[/tex] l'ulteriore punto di intersezione di [tex]r'[/tex] con [tex]C[/tex], il corollario mostra che [tex]Q_4[/tex], [tex]Q_1[/tex] e [tex]Q_2[/tex] devono essere allineati. Ma allora forzatamente [tex]Q_4 = Q_3[/tex], e abbiamo concluso.
Lemma. Siano [tex]C,C'[/tex] due cubiche e supponiamo che si intersechino nei punti [tex]\{P_i\}_{i = 1}^9[/tex], non necessariamente distinti. Sia poi [tex]Q[/tex] una conica e supponiamo che [tex]C[/tex] e [tex]Q[/tex] si intersechino in [tex]\{P_i\}_{i = 1}^6[/tex] e che questi punti siano semplici su [tex]C[/tex]. Allora [tex]P_7, P_8[/tex] e [tex]P_9[/tex] giacciono su una linea retta.
Corollario. Sia [tex]C[/tex] una conica irriducibile e siano [tex]P_1, P_2, P_3 \in C[/tex] tre punti allineati e distinti. Sia [tex]l_i[/tex] la tangente a [tex]C[/tex] in [tex]P_i[/tex]; sia [tex]Q_i[/tex] l'altra intersezione di [tex]l_i[/tex] con [tex]C_i[/tex]. Allora i [tex]Q_i[/tex] sono allineati.
Proof. Si osservi che la retta contenente [tex]P_1, P_2, P_3[/tex], elevata al quadrato, è una conica! [tex]\square[/tex]
A questo punto è semplice. Siano [tex]r_1,r_2[/tex] le rette tangenti a [tex]C[/tex] in [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] rispettivamente. Sia poi [tex]l[/tex] la retta congiungente [tex]P_1[/tex] a [tex]P_2[/tex]. Allora la cubica [tex]C'[/tex] formata dal prodotto di queste tre rette interseca [tex]C[/tex] in [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] con molteplicità 3, e con [tex]Q_1, Q_2, Q_3[/tex], dove [tex]Q_1, Q_2[/tex] sono le altre intersezioni di [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex] con [tex]C[/tex], mentre [tex]Q_3[/tex] è l'altra intersezione di [tex]l[/tex] con [tex]C[/tex]. Noi vogliamo mostrare che [tex]Q_3[/tex] è un flesso.
Bene, il lemma assicura che i [tex]Q_i[/tex] siano allineati.
Ma adesso usiamo il corollario e osserviamo che i punti [tex]P_1, P_2, Q_3[/tex] sono allineati. Se [tex]r'[/tex] è la tangente a [tex]C[/tex] in [tex]Q_3[/tex], detta [tex]Q_4[/tex] l'ulteriore punto di intersezione di [tex]r'[/tex] con [tex]C[/tex], il corollario mostra che [tex]Q_4[/tex], [tex]Q_1[/tex] e [tex]Q_2[/tex] devono essere allineati. Ma allora forzatamente [tex]Q_4 = Q_3[/tex], e abbiamo concluso.
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