Esercizio sui determinanti

[valerio19961]

Siano A1,...,An vettori colonna di dimensione n e di supponga che essi siano linearmente indipendenti. dimostrare che
Det(A1,....,An) è diverso da zero.

Come potrei fare ?

[Berationalgetreal]

Sfrutta il fatto che il determinante della matrice identità è $1$ e che se i vettori colonna della matrice sono linearmente indipendenti allora sono una base per uno di spazio di dimensione $n$ e qualsiasi vettore di questo spazio (quindi in particolare i vettori della base canonica, che compongono la matrice identità come colonne) si scrive come combinazione lineare di questi.

[valerio19961]

quindi basta questo per dimostrarlo cioè che Det(E1,....,En)=1 dove E1,... ,En sono i vettori della base canonica e che quindi possono essere scritti come combinazione lineare di A1,...,An?
perchè non capisco bene come si arriva a dire che Det(A1,...,An) è diverso da 0 ...

[Berationalgetreal]

\[ 1 = det \left ( E_1, \dots , E_n \right ) = det \left (x_{1,1} A_1 + \dots + x_{1,n} A_n, \dots , x_{n,1} A_1 + \dots + x_{n,n} A_n \right ) = \]
\[ = k \cdot det \left ( A_1, \dots, A_n \right ), \ \mathbb{R} \ni k \neq 0, \ x_{1,1}, \dots, x_{n,n} \in \mathbb{R} \]

Lascio a te il divertimento di determinare esattanente $k$, attraverso le proprietà del determinante. Dal momento che il prodotto deve essere uguale a $1$ nessuno dei due fattori può essere uguale a $0$. Quindi, in particolare, [tex]det \left ( A_1, \dots, A_n \right ) \neq 0[/tex].